Хязгааргүй геометрийн цувааны талаарх жишээ асуултууд
Хязгааргүй геометрийн цуваа гэдэг нь геометрийн прогрессийн хязгааргүй тооны гишүүдийг багтаасан цуваа юм. Эдгээр цуваа нь тэдгээрийн нийлбэр (эсвэл хязгаар)-ыг тооцоолоход тодорхой шаардлага тавьдаг. Энэ нийтлэлд бид хязгааргүй геометрийн цувааны үндсэн ойлголт, тэдгээрийг байгуулах шаардлага, хэд хэдэн жишээ бодлого, тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Хязгааргүй геометрийн цувааны үндсэн ойлголтууд
Үндсэндээ геометрийн цуваа гэдэг нь эхний гишүүний дараах гишүүн бүрийг өмнөх гишүүнийг ерөнхий харьцаа (r) гэж нэрлэгддэг тогтмол тоогоор үржүүлснээр олж авсан тоонуудын дараалал юм. Геометрийн цуваа байна гэж үзье:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Хязгааргүй геометрийн цувааны хувьд бид цувааны бүх гишүүдийн нийлбэрийг авч үзнэ. Энэ цувааны нийлбэрийг дараах байдлаар тодорхойлно:
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэр нь зөвхөн харьцаа нь ≥(|r| < 1 \) байх тохиолдолд нийлдэг (тодорхой нийлбэртэй). Хэрэв ≥(|r| \geq 1 \) байвал цуваа нь хуваагдах бөгөөд тодорхой нийлбэргүй болдог (хязгааргүй рүү явдаг).
Хэрэв \( |r| < 1 \) бол хязгааргүй геометрийн цувааны S нийлбэрийг дараах байдлаар тодорхойлж болно: \[ S = \frac{a}{1-r} \] энд: - \( S \) нь цувааны нийлбэр, - \( a \) нь эхний гишүүн, - \( r \) нь харьцаа юм. Жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг Жишээ асуулт 1 Асуулт: Дараах цувааны хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийг ол: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Хэлэлцүүлэг: Цувралын чухал элементүүдийг тодорхойлъё: Эхний гишүүн \( a = 3 \) Харьцаа \( r \)-г хоёр дахь гишүүнийг эхний гишүүнд хувааж олж болно, өөрөөр хэлбэл: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) тул энэ цуваа нийлдэг бөгөөд бид хязгааргүй цувааны нийлбэрийг тооцоолж болно. Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийн томъёог ашиглана уу: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Тэгэхээр, хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэр нь 6 байна. Жишээ асуулт 2 Асуулт: Эхний гишүүн 8 ба харьцаа нь \( r = -\frac{1}{3} \) бүхий хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийг ол. Хэлэлцүүлэг: Эхний гишүүн \( a = 8 \) Харьцаа \( r = -\frac{1}{3} \) Учир нь \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), энэ цуваа нийлдэг бөгөөд бид хязгааргүй цувааны нийлбэрийг тооцоолж чадна. Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийн томъёог ашиглана уу: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Тэгэхээр хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэр нь 6 байна. Жишээ асуулт 3 Асуулт: Дараах цуваа хязгааргүй нийлбэртэй юу? Хэрэв тийм бол нийлбэрийг ол. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Хэлэлцүүлэг: Эхний гишүүн \( a = 5 \) Харьцаа \( r \)-г хоёр дахь гишүүнийг эхний гишүүнд хувааж олж болно, өөрөөр хэлбэл: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \) тул энэ цуваа нийлдэг бөгөөд бид хязгааргүй цувааны нийлбэрийг тооцоолж болно. Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийн томъёог ашиглана уу: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Тэгэхээр хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэр нь 10 байна. Жишээ асуулт 4 Асуулт: Дараах цуваа нийлдэг үү эсвэл салдаг уу гэдгийг тодорхойлно уу: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Хэлэлцүүлэг: Эхний гишүүн \( a = 4 \) Харьцаа \( r \)-г хоёр дахь гишүүнийг эхний гишүүнд хувааж олж болно, өөрөөр хэлбэл: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] \( |r| = 1.5 > 1 \) тул энэ цуваа нь ялгавартай бөгөөд тодорхой нийлбэргүй байна.Тиймээс цуврал нь өөр өөр байдаг.
Жишээ асуулт 5
Асуулт: Дараах хязгааргүй цуваа байна гэж бодъё:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Цувралын нийлбэрийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний гишүүн \( a = \frac{1}{2} \)
Харьцааг хоёр дахь гишүүнийг эхний гишүүнд хувааж олно, өөрөөр хэлбэл:
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
\( |r| = \frac{1}{2} < 1 \) тул энэ цуваа нийлж, бид хязгааргүй цувааны нийлбэрийг тооцоолж болно. Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийн томъёог ашиглана уу: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Тиймээс хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэр нь 1 байна. Дүгнэлт Хязгааргүй геометрийн цуваа нь янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг чухал математикийн ойлголт юм. Хязгааргүй геометрийн цувааны нийлбэрийг тодорхойлохын тулд бид харьцаа нь \( |r| < 1 \) байгаа эсэхийг шалгах ёстой. Тиймээс цувааны нийлбэрийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой томъёогоор тооцоолж болно. Дээрх жишээ бодлогуудаас харахад энэ арга нь хязгааргүй геометрийн цуваатай холбоотой бодлогуудыг бодоход маш хялбар болгодог болохыг бид харж болно.
