Тойргийн тодорхойлолтыг авч үзэх жишээ асуултууд
Тойрог бол бидний өдөр тутмын амьдралд байнга тааралддаг үндсэн геометрийн дүрсүүдийн нэг юм. Математикийн хувьд тойрог нь өвөрмөц тодорхойлолт, шинж чанартай байдаг. Энэ нийтлэлд тойрог болон түүнтэй холбоотой элементүүдийн тодорхойлолтыг гүнзгийрүүлэн судлахаас гадна тойргийн талаарх ойлголтоо гүнзгийрүүлэх хэд хэдэн жишээ бодлого, тэдгээрийн шийдлүүдийг өгөх болно.
Тойргийн тодорхойлолт
Тойрог гэдэг нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг тогтмол цэгээс тэгш зайд орших хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлог юм. Төв ба тойрог дээрх дурын цэгийн хоорондох зайг тойргийн радиус гэж нэрлэдэг. Төв нь \((h, k)\) цэг дээр ба радиус \(r\) цэг дээр байрладаг тойргийн ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар өгнө.
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Тэнд:
– \((h, k)\) нь тойргийн төвийн координатууд,
– \(r\) нь тойргийн радиус,
– \(x\) болон \(y\) нь тойрог дээрх дурын цэгийн координатууд юм.
Тойргийн элементүүд
Жишээ асуултууд руу орохоосоо өмнө тойрог дахь зарим чухал элементүүдийг мэдэх нь зүйтэй:
1. Тойргийн төв: Бие биенээсээ ижил зайд орших бүх цэгүүдийн төв болох тогтмол цэг.
2. Радиус (r): Тойргийн төвөөс тойргийн аль ч цэг хүртэлх зай.
3. Диаметр (d): Тойргийн төвөөр дайран өнгөрч, тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шулуун шугамын урт нь радиуснаас хоёр дахин их (\(d = 2r)) байна.
4. Нуман: Тойргийн хоёр цэгийн хооронд орших тойргийн тойргийн хэсэг.
5. Хөндлөнгийн шугам: Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон боловч төвөөр нь дайран өнгөрдөггүй шулуун шугам.
6. Апотем: Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зай.
7. Төвийн өнцөг: Тойргийн төвөөс хоёр радиусаар үүссэн өнцөг.
8. Периметрийн өнцөг: Тойрог дээр нэг цэг дээр огтлолцсон хоёр хөвчний үүсгэсэн өнцөг.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1
Асуулт: Төв нь \(3, 4)\) цэг дээр байрладаг бөгөөд \(7, 4)\ цэгийг дайран өнгөрдөг тойрог өгөгдсөн. Тойргийн тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Тойргийн тэгшитгэлийг олохын тулд бид эхлээд түүний радиусыг мэдэх хэрэгтэй. Тойрог нь \(7, 4)\) цэгээр дайран өнгөрдөг тул бид энэ цэгээс тойргийн төв хүртэлх зайг тооцоолж болно, энэ нь \((3, 4)\).
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4 байна
\]
Төв нь \((3, 4)\) цэг дээр, радиус нь 4 байх үед тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Жишээ асуулт 2
Асуулт: 5 см радиустай тойргийн талбай ба тойргийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
– Тойргийн талбайг (A) \(A = \pi r^2\) томъёогоор тооцоолж болно,
\[
A = \pi \times 5^2
\]
\[
A = 25\pi \text{ см}^2
\]
Хэрэв \(\pi \approx 3.14\) бол:
\[
А ойролцоогоор 25 дахин 3.14 = 78.5 см^2
\]
– Тойргийн тойргийн уртыг (C) \(C = 2\pi r\) томъёогоор тооцоолж болно,
\[
C = 2 \times \pi \times 5
\]
\[
C = 10\pi \text{ см}
\]
Хэрэв \(\pi \approx 3.14\) бол:
\[
C \ойролцоогоор 10 \удаа 3.14 = 31.4 \текст {см}
\]
Жишээ асуулт 3
Асуулт: Тойрог нь О цэг дээр төвтэй бөгөөд 7 см радиустай. Хэрэв тойрог дээр 10 см урттай хөвч зурсан бол О төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зайг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
Төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зайг олохын тулд бид төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зай болох апотем гэсэн ойлголтыг ашигладаг. 7 см радиустай, 10 см урт хөвчтэй тул үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглан энэ бодлогыг авч үзэж болно.
Хэрэв хөвчний дунд цэг нь C цэг бол OC нь бидний хайж буй апотем юм. Хэрэв A ба B нь хөвчний төгсгөл цэгүүд бол AC ба BC нь тус бүр 5 см (10 см-ийн хагас) байна.
C цэг дээр тэгш өнцөгтэй OAC гурвалжнаас бид Пифагорын теоремыг ашиглана:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49 – 25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]
Жишээ асуулт 4
Асуулт: \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\) тэгшитгэлтэй тойрог өгөгдсөн. Тойргийн төв ба радиусыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Төв ба радиусыг олохын тулд бид тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт шилжүүлнэ:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Бид квадрат хэлбэрийг төгс болгосноор шийднэ:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
x гишүүн дээр (6/2)\(^2\), y гишүүн дээр (8/2)\(^2\) нэмэх ба хасах:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
\((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) тэгшитгэлээс бид тойргийн төв нь \((-3, 4)\), радиус нь \(r = \sqrt{16} = 4\) болохыг олж мэдэв.
Дүгнэлт
Тойрог бол геометрийн үндсэн бөгөөд чухал ойлголт юм. Дээрх жишээ бодлого, хэлэлцүүлгээр дамжуулан бид тойргийн янз бүрийн тал, шинж чанарыг илүү гүнзгий ойлгох боломжтой. Энэ сэдвийг эзэмшсэнээр илүү төвөгтэй геометрийн бодлогуудыг ойлгож, шийдвэрлэхэд хялбар болно.
