Арифметик дарааллын талаарх жишээ асуултууд
Арифметик дараалал гэдэг нь математикийн үндсэн ойлголт бөгөөд янз бүрийн шалгалт болон бодит ертөнцийн хэрэглээнд байнга гардаг. Арифметик дараалал гэдэг нь дараалсан хоёр гишүүн бүрийн хооронд тогтмол зөрүүтэй тоонуудын дараалал юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик дарааллын тухай ойлголтыг хэд хэдэн жишээ бодлогын хамт дэлгэрэнгүй тайлбараар дамжуулан илүү гүнзгий судлах болно.
Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ
Жишээ бодлогуудыг авч үзэхээсээ өмнө арифметик дараалалд ихэвчлэн ашиглагддаг тэмдэглэгээг ойлгох нь чухал юм. Хэрэв \(a\) нь эхний гишүүн, \(d\) нь ерөнхий ялгавар (тогтмол ялгавар) бол арифметик дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Энэ дарааллын n-р гишүүн (Un)-ийг дараах байдлаар томъёолж болно:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Арифметик дарааллыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс дараах хэдэн жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгүүдийг оруулав.
Жишээ асуулт 1
Асуулт:
Эхний гишүүн \(a = 5\) ба ерөнхий ялгавар \(d = 3\) бүхий арифметик дараалал өгөгдсөн. Дарааллын 10 дахь гишүүнийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
n-р гишүүний ерөнхий томъёог ашиглан, тухайлбал \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Тэгэхээр дарааллын 10 дахь гишүүн нь 32 байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт:
Тав дахь гишүүн нь 20, найм дахь гишүүн нь 35 гэсэн арифметик дараалал өгөгдсөн. Дарааллын эхний гишүүн \(a\) болон ерөнхий ялгавар \(d\)-г тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Асуултаас бид дараах зүйлийг мэдэж байна:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
\(a\)-г хасахын тулд хоёр тэгшитгэлийг хасна уу:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Одоо бид \(d = 5\)-г орлуулж \(a\)-г олъё:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Тиймээс дарааллын эхний гишүүн нь 0, зөрүү нь 5 байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт:
Эхний гишүүн нь \(a = 2\) ба ерөнхий ялгавар нь \(d = 4\) байх арифметик дарааллын эхний 20 гишүүний нийлбэр хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Арифметик дарааллын эхний n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Энэ мөрийн хувьд:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \зүүн( 4 + 76 \баруун) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Тиймээс дарааллын эхний 20 гишүүний нийлбэр нь 800 байна.
Жишээ асуулт 4
Асуулт:
Арифметик дарааллын гурав дахь гишүүн нь 15, долоо дахь гишүүн нь 27 байна. Дарааллын 12 дахь гишүүнийг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид \(a\) болон \(d\) утгуудыг олох хэрэгтэй. Асуултаас бид дараах зүйлийг мэдэж байна:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
\(a\)-г хасахын тулд хоёр тэгшитгэлийг хасна уу:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Одоо бид \(d = 3\)-г орлуулж \(a\)-г олъё:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
12 дахь гишүүнийг олохын тулд n-р гишүүний томъёог ашиглана уу:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Тэгэхээр дарааллын 12 дахь гишүүн нь 42 байна.
Жишээ асуулт 5
Асуулт:
Эхний гишүүн \(a\) ба ерөнхий ялгавар \(d\) бүхий арифметик дараалал нь эхний 10 гишүүний нийлбэр буюу 55 байна. Хэрэв \(d = 1\) бол эхний гишүүн \(a\)-г тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
\(d = 1\) ба \(S_{10} = 55\) өгөгдсөн. Эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёог ашиглана уу:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
n = 10-ын хувьд:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Тиймээс дарааллын эхний гишүүн нь 1 байна.
Дүгнэлт
Арифметик дараалал нь математикийн үндсэн ойлголт бөгөөд янз бүрийн салбарт маш их хэрэгтэй байдаг. Энэ нийтлэлд бид арифметик дараалал болон тэдгээрийн шийдлийн хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Арифметик дарааллын томъёо болон үндсэн шинж чанарыг сайн ойлгох нь энэ сэдэвтэй холбоотой янз бүрийн төрлийн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд маш их тустай байх болно.
Дээрх жишээнүүдийг дадлага хийснээр та арифметик дарааллын бодлогуудыг илүү чадварлаг, хурдан бодох болно гэж найдаж байна.
