Харилцан хамааралгүй А ба В хоёр үйл явдлыг нэмэх дүрэм
Магадлалын нэмэх нь статистик болон магадлалын онолын чухал хэрэгсэл юм. Үүнийг ихэвчлэн хоёр ба түүнээс дээш өөр үйл явдлын тохиолдох хамтарсан магадлалыг тодорхойлоход ашигладаг. Олон тохиолдолд эдгээр үйл явдлууд харилцан үгүйсгэдэг, өөрөөр хэлбэл нэгэн зэрэг тохиолдож болохгүй. Гэсэн хэдий ч хоёр үйл явдал харилцан үгүйсгэдэггүй олон нөхцөл байдал байдаг - тэдгээр нь нэгэн зэрэг тохиолдож болно. Энэ нийтлэлд А ба В гэсэн хоёр үгүйсгэдэггүй үйл явдлыг нэмэх дүрмийг авч үзэх бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход туслах тодорхой жишээнүүдийг өгөх болно.
Оршил: Үндсэн тодорхойлолт ба ойлголтууд
Хоёр онцгой бус үйл явдлын нэмэлт дүрмийг авч үзэхээсээ өмнө зарим үндсэн ойлголтуудыг ойлгох нь чухал юм.
1. Магадлал: Магадлал гэдэг нь үйл явдал болох магадлалын хэмжүүр бөгөөд түүний утга 0-ээс 1 хүртэл хэлбэлздэг.
2. Үйл явдал: Үйл явдал гэдэг нь санамсаргүй туршилтын үр дүн эсвэл үр дүнгийн цуврал юм.
3. Харилцан үл хамаарах үйл явдлууд: Хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй бол тэдгээрийг харилцан үл хамаарах гэж нэрлэдэг.
Хоёр үйл явдал харилцан үгүйсгэхгүй бол энэ нь тэдгээр нь нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалтай гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд нийт магадлалыг тооцоолохдоо хоёр үйл явдлын харилцан үйлчлэлийг харгалзан үзэх ёстой.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудыг нэмэх дүрэм
Ерөнхийдөө А ба В хоёр үйл явдлын хувьд А ба В үйл явдлын магадлалыг тооцоолох нэмэлт дүрэм дараах байдалтай байна.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
Хаана:
– \( P(A \cup B) \) нь А эсвэл В үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал юм.
– \( P(A) \) нь А үйл явдлын магадлал юм.
– \( P(B) \) нь B үйл явдлын магадлал юм.
– \( P(A \cap B) \) нь А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал юм.
Яагаад бид \(P(A \cap B) \)-г хасах хэрэгтэй вэ? Учир нь бид \(P(A) \) ба \(P(B) \)-г нэмэхэд \(A \cap B \) үйл явдлыг төлөөлж буй мужийг хоёр удаа (\(P(A) \)-д нэг удаа, дахин \(P(B) \)-д) тоолно. Тиймээс зөв үр дүнг авахын тулд бид үүнийг нэг удаа хасна.
Бетон жишээ
Ойлгоход хялбар болгохын тулд тодорхой жишээ авч үзье:
Бидэнд стандарт 52 хөзрийн тавцан байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв бид сугалж буй хөзөр нь хүрз (А үйл явдал) эсвэл туз (Б үйл явдал) байх магадлалыг тооцоолохыг хүсвэл дээр дурдсан нэмэх дүрмийг ашиглаж болно.
1. Хүрзний карт зурах магадлал:
52 хөзрийн багцад 13 хүрз байна.
\[ P(A) = \frac{13}{52} \]
2. Ати зурах магадлал:
52 хөзрийн багцад 4 туз байдаг.
\[ P(B) = \frac{4}{52} \]
3. Хүрзний хөзөр болон тууз (Хүрзний тууз) хоёуланг нь зурах магадлал:
52 хөзрийн багцад зөвхөн нэг Хүздийн Туз байдаг.
\[ P(A \cap B) = \frac{1}{52} \]
Нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
Тоолж үзвэл:
\[ P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} – \frac{1}{52} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{16}{52} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{4}{13} \]
Тэгэхээр, сугалагдсан хөзөр нь хүрз эсвэл ат байх магадлал нь \( \frac{4}{13} \) байна.
Хамаарал ба Хэрэглээ
Хоёр салгагдаагүй үйл явдлын нэмэх дүрмийг ойлгох нь өгөгдлийн шинжилгээ, статистик болон бизнес, санхүү, компьютерийн шинжлэх ухаан, нийгмийн судалгаа зэрэг бусад олон салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Зарим практик хэрэглээнд дараахь зүйлс орно.
1. Эрсдэлийн шинжилгээ: Эрсдэлийн менежмент дэх янз бүрийн эрсдэл болон хүчин зүйлсийн боломжит хослолыг тодорхойлох.
2. Эпидемиологийн судалгаа: Эрүүл мэндийн судалгаанд янз бүрийн эрсдэлт хүчин зүйлсийн нийлмэл магадлалыг тооцоолох.
3. Бизнес ба санхүү: Хөрөнгийн зах зээл эсвэл бизнесийн орчин дахь янз бүрийн үйл явдлын нэгдсэн боломжуудыг үнэлэх.
4. Бодлого тодорхойлох: Төрөл бүрийн бодлого, үйл ажиллагааны болзошгүй нөлөөллийг харгалзан шийдвэр гаргахад тусалдаг.
5. Өгөгдлийн шинжлэх ухаан ба машин сургалт: Харилцан бие биенээ үгүйсгэхгүй байж болох олон шинж чанарыг харгалзан үздэг урьдчилан таамаглах загваруудад ашиглагддаг.
График тайлбар
Венн диаграмм гэх мэт график дүрслэлүүд нь хоёр үйл явдлын харилцан үйлчлэлийг ойлгоход ихэвчлэн тустай байдаг. Эдгээр диаграммууд нь хоёр багц (үйл явдал) хэрхэн харилцан үйлчилж, тэдгээрийн давхцаж байгааг харуулдаг.
Хэрэв бид хөзрийн тавцангийн жишээ рүү буцаж орвол Веннийн диаграмм дахь давхцаж буй хэсэг нь Хүрзний Ацыг төлөөлөх бөгөөд энэ нь \(P(A) \) болон \(P(B) \)-г нэмэхдээ яагаад \(P(A \cap B) \)-г хасах шаардлагатайг илүү тодорхой харуулах боломжийг олгоно.
Дүгнэлт
Хоёр онцгой бус үйл явдлын нэмэх дүрмийг сурах нь магадлалын онол болон статистикийн чухал хэсэг юм. Энэ ойлголтыг ойлгосноор бид янз бүрийн бодит амьдралын нөхцөл байдалд үйл явдлуудын хамтарсан магадлалыг илүү нарийвчлалтай тооцоолж чадна. Үйл явдлууд онцгой бус үед давхцаж буй бүс нутгуудад давхар тоолохоос зайлсхийхийн тулд тэдгээрийн хамтарсан магадлалыг тохируулах ёстой гэдгийг үргэлж санаарай. Энэ арга нь статистикийн шинжилгээнд туслахаас гадна өгөгдөлд суурилсан шийдвэр гаргалтыг бэхжүүлдэг.
Энэ нийтлэлд бид энэ ойлголтыг янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулж, магадлал болон статистиктай холбоотой аливаа салбарт цаашид хэрэглэх бат бөх суурийг тавьж өгөх болно.
