Шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт үүсмэлийн хэрэглээ
Дериватив нь 17-р зууны сүүлчээр Сэр Исаак Ньютон, Готтфрид Вильгельм Лейбниц нарын нэвтрүүлсэн тооцооллын үндсэн ойлголт юм. Математикийн хувьд дериватив нь функцийн хувьсагчдын аль нэгтэй харьцуулахад өөрчлөгдөх хурдыг илэрхийлдэг. Энэ ойлголт нь зөвхөн математикийн хувьд үндсэн ойлголт төдийгүй шинжлэх ухааны бусад олон салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нийтлэлд физик, эдийн засгаас эхлээд биологи, инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухаан хүртэл янз бүрийн салбар дахь деривативын янз бүрийн хэрэглээний талаар авч үзэх болно.
1. Физик
Уламжлалтууд нь физикт, ялангуяа сонгодог механикт маш чухал ач холбогдолтой. Хамгийн энгийн жишээнүүдийн нэг бол байрлал, хурд, хурдатгалын хоорондын хамаарал юм. Хэрэв \(s(t) \) нь цаг хугацааны функц болох объектын байрлал бол:
– Хурд (\( v(t) \)) нь цаг хугацааны хувьд байрлалын эхний уламжлал юм: \( v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).
– Хурдатгал (\( a(t) \)) нь хурдны эхний уламжлал эсвэл цаг хугацааны хувьд байрлалын хоёр дахь уламжлал юм: \( a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2s(t)}{dt^2} \).
Үүнээс гадна, цахилгаан соронзон үзэгдэлд Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хуульд хэлхээнд өдөөгдсөн цахилгаан хөдөлгөгч хүч (EMF) нь цаг хугацааны хувьд соронзон урсгалын уламжлал гэж заасан байдаг.
2. Эдийн засаг
Эдийн засгийн ухаанд деривативыг зардал, орлого, үйлдвэрлэлийн функцийн өөрчлөлтийг шинжлэхэд ашигладаг. Жишээлбэл:
– Ахиу зардал (Biaya Ахиу зардал) нь нийт зардлын функцийн гаралтын тоо хэмжээтэй харьцуулсан уламжлал бөгөөд үйлдвэрлэл нэмэгдэхийн хэрээр нийт зардал хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг: \( MC = \frac{dTC}{dQ} \).
– Ахиу орлого (Ахиу орлого) нь нийт орлогын функцийн гарцын тоо хэмжээтэй харьцуулсан уламжлал бөгөөд борлуулалт нэмэгдэх үед гарах нэмэлт орлогыг тодорхойлдог: \( MR = \frac{dTR}{dQ} \).
Өөр нэг чухал хэрэглээ нь хэрэглээний онол юм. Хэрэглээний функц нь бараа, үйлчилгээний хэрэглээнээс олж авсан сэтгэл ханамж буюу ашиг тусыг тодорхойлдог. Хэрэглээний функцийн эхний уламжлалыг ахиу хэрэглээ гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь бараа эсвэл үйлчилгээний нэмэлт нэгжийг хэрэглэснээс олж авсан нэмэлт сэтгэл ханамжийг харуулдаг.
3. Биологи
Биологийн шинжлэх ухаанд деривативыг янз бүрийн динамик процессуудыг загварчлахад ашигладаг. Жишээлбэл, экологийн шинжлэх ухаанд хүн амын өсөлтийн загварууд нь хүн амын өсөлтийн хурдыг тодорхойлоход деривативыг ихэвчлэн ашигладаг. Экспоненциал болон логистик өсөлтийн загварууд нь хоёр нийтлэг жишээ юм:
– Экспоненциал өсөлтийн загвар: \( \frac{dN}{dt} = rN \), энд \(N \) нь хүн амын тоо, \(r \) нь дотоод өсөлтийн хурд юм.
– Логистик өсөлтийн загвар: \( \frac{dN}{dt} = rN \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \), энд \( K \) нь орчны багтаамж, \( \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \) нь орчны багтаамжид ойртох тусам өсөлтийн хурдыг бууруулдаг бууралтын хүчин зүйл юм.
Физиологийн хувьд деривативыг цусны урсгал болон мэдрэлийн дохионы дамжуулалт зэрэг физиологийн процессуудыг загварчлахад ашигладаг. Жишээлбэл, Дарсигийн цусны судасны цусны урсгалын хууль нь судасны дагуух цусны даралтын өөрчлөлтийг тодорхойлоход деривативыг ашигладаг.
4. Техник
Уламжлалтууд нь инженерийн янз бүрийн салбарт маш чухал ач холбогдолтой. Барилгын инженерчлэл болон механикийн салбарт уламжлалуудыг бүтцийн шинжилгээ болон шингэний механикт ашигладаг. Жишээлбэл:
– Бүтцийн шинжилгээнд бүтэц дэх деформаци ба стрессийг тодорхойлоход төгсгөлөг элементийн аргыг ашигладаг. Шилжилтийн функцийн уламжлал нь хэв гажилтыг, хэв гажилтын уламжлал нь стрессийг өгдөг.
– Шингэний механикт Навье-Стокс тэгшитгэл нь шингэний урсгалыг тодорхойлдог. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шингэний хурдны цаг хугацаа ба орон зайн хувьд хэсэгчилсэн уламжлалыг хамарсан дифференциал тэгшитгэлүүд юм.
Цахилгааны инженерчлэлд цахилгаан хэлхээний шинжилгээнд уламжлалыг ашигладаг. Кирхгофын хууль болон сүлжээний онол нь цахилгаан хэлхээний гүйдэл, хүчдэл болон индуктив чанарын хоорондын хамаарлыг тодорхойлоход уламжлалыг ихэвчлэн ашигладаг.
5. Компьютерийн шинжлэх ухаан
Компьютерийн шинжлэх ухаанд уламжлалыг оновчлол болон машин сургалтанд ашигладаг. Үндсэн хэрэглээний нэг нь градиент бууралт гэх мэт оновчлолын алгоритмуудад байдаг. Энэхүү алгоритмыг машин сургалтын загварын сургалтын процесст зардлын функцийг багасгахад ашигладаг:
– Градиент нь загварын параметрүүдтэй харьцуулахад өртгийн функцийн эхний уламжлалын вектор бөгөөд хамгийн их өөрчлөлтийн чиглэлийг заана.
– Градиент бууралт нь загварын параметрүүдийг өртгийн функцийн хамгийн бага хэмжээнд хүртэл шинэчлэхийн тулд градиент ашигладаг давталтын процесс юм.
Үүнээс гадна, компьютер графикт гэрэлтүүлэг болон сүүдрийг удирдахад уламжлалыг ашигладаг. Ламбертын хууль болон Фонг гэрэлтүүлгийн загвар нь гэрлийн эх үүсвэрт өртсөн гадаргуугаас ойсон гэрлийн эрчмийг тооцоолоход уламжлалыг ашигладаг.
6. Хими
Химийн салбарт уламжлалыг урвалын кинетикт химийн урвалын хурдыг тодорхойлоход ашигладаг. Урвалын хурдыг ихэвчлэн урвалд оруулагч эсвэл бүтээгдэхүүний концентрацийн цаг хугацааны хамаарлын уламжлалаар илэрхийлдэг. Жишээлбэл, эхний урвалын хувьд:
\[ \text{Урвалж бодисууд} \rightarrow \text{Бүтээгдэхүүнүүд} \]
Урвалын хурд \(r(t) \)-г дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[ r(t) = – \frac{d[\text{React}]}{dt} = \frac{d[\text{Product}]}{dt} \]
Үүнээс гадна, термодинамикт деривативуудыг систем дэх энергийн өөрчлөлтийг шинжлэхэд ашигладаг. Жишээлбэл, Гиббсийн чөлөөт энерги (G) нь химийн урвалын чиглэлийг урьдчилан таамаглахад ихэвчлэн ашиглагддаг термодинамик функц бөгөөд системийн эрх чөлөөний зэрэгтэй харьцуулахад G-ийн эхний дериватив нь термодинамик тэнцвэрийн төлөв байдлын талаарх мэдээллийг өгдөг.
Дүгнэлт
Дээрх тайлбараас харахад деривативын тухай ойлголт нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг нь тодорхой байна. Физикийн хувьд дериватив нь байрлал, хурд, хурдатгалын хоорондох үндсэн хамаарлыг тодорхойлдог. Эдийн засгийн хувьд деривативыг захын зардал, орлогыг шинжлэхэд ашигладаг. Биологийн хувьд дериватив нь хүн амын өсөлт болон физиологийн процессыг загварчлахад тусалдаг. Инженерийн салбарт дериватив нь бүтцийн шинжилгээ, шингэний механикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Компьютерийн шинжлэх ухаан нь деривативыг оновчлолын алгоритм болон машин сургалтад ашигладаг. Химийн салбарт деривативыг урвалын кинетик ба термодинамикт ашигладаг. Тиймээс деривативын тухай ойлголтыг ойлгож, эзэмших нь янз бүрийн салбарын эрдэмтэд, инженерүүдийн хувьд чухал юм.
