വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. 10 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു വസ്തു ഒരു വൃത്തത്തിൽ 4 മീ/സെക്കൻഡ് എന്ന സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ നീങ്ങുന്നു. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 0.5 മീറ്ററാണെങ്കിൽ:

1) വൃത്തങ്ങളുടെ ആവൃത്തി 4/π Hz ആണ്.

എക്സാം കേന്ദ്രീകൃത ത്വരണം 32 മി.സെക്കൻഡ് ആണ്^-2

എക്സാം കേന്ദ്രബിന്ദു ബലം 320 N ആണ്

4) കാലയളവ് 4π സെ. ആണ്.

ശരിയായ പ്രസ്താവനകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ബഹുജന വസ്തുവിന്റെ ഭാരം (മീ) = 10 കി.ഗ്രാം

ദി രേഖീയ പ്രവേഗം (v) = 4 മീ/സെ

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം (r) = 0.5 മീറ്റർ

പരിഹാരം:

1) വൃത്തത്തിന്റെ ആവൃത്തി

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) എഫ്

4 = π എഫ്

f = 4/π ഹെർട്സ്

2) കേന്ദ്രബിന്ദു ത്വരണം

a_s = വി² / r = 4² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 മീ/സെ²

3) കേന്ദ്രബിന്ദു ബലം

എഫ് = മാ_s = (10)(32) = 320 എൻ

4) കാലഘട്ടം

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. ഒരു വസ്തു 6 മീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിൽ നീങ്ങുന്നു. 2 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ വസ്തു 16 വൃത്തങ്ങൾ ചുറ്റുന്നുവെങ്കിൽ, വസ്തുവിന്റെ രേഖീയ പ്രവേഗം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ആരം (r) = 6 മീറ്റർ

കോണീയ പ്രവേഗം (ω) = 16 പരിക്രമണങ്ങൾ / 2 മിനിറ്റ് = 8 പരിക്രമണങ്ങൾ / മിനിറ്റ് = 8 പരിക്രമണങ്ങൾ / 60 സെക്കൻഡ് = 0.13 പരിക്രമണങ്ങൾ/സെക്കൻഡ്.

ആവശ്യമുണ്ട്: രേഖീയ പ്രവേഗം (v)?

പരിഹാരം:

v = r ω = (6 മീറ്റർ)(0.13 പരിക്രമണങ്ങൾ/സെക്കൻഡ്) = 0.8 മീറ്റർ/സെക്കൻഡ്

റേഡിയനുകളിൽ:

1 പരിക്രമണം = 2π റേഡിയനുകൾ = 2(3.14) = 6.28 റേഡിയനുകൾ

കോണീയ പ്രവേഗം = 8 (6.28) റേഡിയനുകൾ / 60 സെക്കൻഡ് = 50.24 റേഡിയനുകൾ / 60 സെക്കൻഡ് = 0.84 റേഡിയനുകൾ/സെക്കൻഡ്

v = r ω = (6 മീറ്റർ)(0.84 റേഡിയനുകൾ/സെക്കൻഡ്) = 5.04 റേഡിയനുകൾ/സെക്കൻഡ്.

3. 20/π സെ.മീ ആരമുള്ള ഒരു വസ്തു 1 സെക്കൻഡിൽ 4 തവണ കറങ്ങുന്നു. ഒരു വസ്തുവിന്റെ അരികിലെ രേഖീയ പ്രവേഗം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ആരം (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 മീറ്റർ

കോണീയ പ്രവേഗം (ω) = 4 പരിക്രമണങ്ങൾ / 1 സെക്കൻഡ് = 4 പരിക്രമണങ്ങൾ / സെക്കൻഡ്.

1 പരിക്രമണം = (2)(3.14) റേഡിയനുകൾ = 6.28 റേഡിയനുകൾ

കോണീയ പ്രവേഗം (ω) = (4)(6.28) റേഡിയൻസ്/സെക്കൻഡ് = 25.12 റേഡിയൻസ്/സെക്കൻഡ്

ആവശ്യമുണ്ട്: വസ്തുവിന്റെ അരികിലെ രേഖീയ പ്രവേഗം (v)

പരിഹാരം:

v = r ω = (0.064 മീറ്റർ)(25.12 റേഡിയൻസ്/സെക്കൻഡ്) = 1.6 മീറ്റർ/സെക്കൻഡ്

4. സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ വൃത്തത്തിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ രേഖീയ പ്രവേഗം ... ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം:

വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിന്റെ രേഖീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ സമവാക്യം:

v = രേഖീയ പ്രവേഗം

d = 2πr = ചുറ്റളവ്

T = കാലയളവ് = ഒരു പൂർണ്ണ പരിക്രമണത്തിന് ആവശ്യമായ സമയം.

5. ഒരു വസ്തു 50 മീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിൽ ചലിക്കുന്നു. വസ്തുവിന്റെ കോണീയ വേഗത 120 rpm ആണെങ്കിൽ, വസ്തുവിന്റെ സമയ ഇടവേളയും രേഖീയ പ്രവേഗവും എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ആരം (r) = 50 സെ.മീ = 0.5 മീറ്റർ

കോണീയ പ്രവേഗം (ω) = 120 rpm = 120 പരിക്രമണങ്ങൾ / 1 മിനിറ്റ് = 120 പരിക്രമണങ്ങൾ / 60 മിനിറ്റ് = 2 പരിക്രമണങ്ങൾ / 1 സെക്കൻഡ്

1 പരിക്രമണം = 2π റേഡിയൻ

കോണീയ പ്രവേഗം (ω) = 2 (2π റേഡിയനുകൾ) / 1 സെക്കൻഡ് = 4π റേഡിയനുകൾ/സെക്കൻഡ്

ആവശ്യമുണ്ട്: സമയ ഇടവേളയും (T) രേഖീയ വേഗതയും (v)

പരിഹാരം:

കാലയളവ് (T) :

ഒരു പൂർണ്ണ പരിക്രമണത്തിന് ആവശ്യമായ സമയമാണ് പീരിയഡ്.

ഒരു വസ്തു 1 സെക്കൻഡിൽ രണ്ട് തവണ കറങ്ങുന്നു = 0.5 സെക്കൻഡിൽ 1 തവണ കറങ്ങുന്നു. കാലയളവ് = 0.5 സെക്കൻഡ്.

രേഖീയ പ്രവേഗം (v) :

v = r ω = (0.5 മീറ്റർ)(4π റേഡിയൻസ്/സെക്കൻഡ്) = 2π മീറ്റർ/സെക്കൻഡ്.

1. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിലെ ടാൻജൻഷ്യൽ വേഗതയും കോണീയ വേഗതയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

   ഉത്തരം: ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ രേഖീയ വേഗതയാണ് ടാൻജൻഷ്യൽ വേഗത, ഇത് ആ ബിന്ദു അതിന്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയിലൂടെ എത്ര വേഗത്തിൽ നീങ്ങുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, കോണീയ വേഗത എന്നത് വസ്തു കറങ്ങുമ്പോൾ കോൺ എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ടാൻജൻഷ്യൽ വേഗത സാധാരണയായി മീറ്ററിൽ (m/s) അളക്കുന്നു, അതേസമയം കോണീയ വേഗത സാധാരണയായി റേഡിയൻസിൽ (rad/s) അളക്കുന്നു.

2. കേന്ദ്രീകൃത ത്വരണം എന്താണ്, അത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

   ഉത്തരം: ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന് അനുഭവപ്പെടുന്ന ത്വരണമാണ് സെൻട്രിപെറ്റൽ ആക്സിലറേഷൻ. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുകയും വസ്തുവിനെ അതിന്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയിൽ നിലനിർത്തുന്നതിന് ഉത്തരവാദിയാകുകയും ചെയ്യുന്നു. സെൻട്രിപെറ്റൽ ആക്സിലറേഷന്റെ സൂത്രവാക്യം a_cമയക്കുമരുന്ന്=v²/rമയക്കുമരുന്ന് എവിടെ $v$ ടാൻജൻഷ്യൽ വേഗതയും $r$ ആണ് വൃത്തത്തിന്റെ ആരം.
3. ഏകീകൃത വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിലുള്ള ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗത സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ പോലും അതിന് ത്വരണം ഉണ്ടാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

   ഉത്തരം: ഏകീകൃത വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിൽ വേഗതയുടെ വ്യാപ്തി (അല്ലെങ്കിൽ വലിപ്പം) സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുമ്പോൾ, പ്രവേഗത്തിന്റെ ദിശ മാറുന്നു. ത്വരണം പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടതിനാലും, പ്രവേഗം വ്യാപ്തിയും ദിശയും ഉള്ള ഒരു വെക്റ്റർ അളവായതിനാലും, ദിശയിലുണ്ടാകുന്ന ഏതൊരു മാറ്റവും ഒരു ത്വരണം ആയി മാറുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് കേന്ദ്രീകൃത ത്വരണം ആണ്.

4. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം നിലനിർത്താൻ ആവശ്യമായ ബലം വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡവും വൃത്തത്തിന്റെ ആരവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

   ഉത്തരം: വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം നിലനിർത്താൻ ആവശ്യമായ ബലം കേന്ദ്രീകൃത ബല സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു: F_{cമയക്കുമരുന്ന്}=m×a_{cമയക്കുമരുന്ന്}=m×v²/rമയക്കുമരുന്ന്സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കാണുന്നത് പോലെ, ആവശ്യമായ ബലം വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലും വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലുമാണ്.

5. ഒരു കാർ പെട്ടെന്ന് ഒരു വളവ് വരുമ്പോൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റൗണ്ട് എബൗട്ടിൽ) നിങ്ങൾക്ക് പുറത്തേക്ക് തള്ളിനിൽക്കുന്നതായി തോന്നുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

   ഉത്തരം: ഇത് "സാങ്കൽപ്പിക" അപകേന്ദ്രബലം മൂലമാണ്, ഇത് ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിൽ പുറത്തേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ബലമാണ്. ഇത് ഒരു തള്ളൽ അല്ലെങ്കിൽ വലിക്കൽ എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ശക്തിയല്ല, മറിച്ച് ജഡത്വത്തിന്റെ ഫലമാണ്. നിങ്ങളുടെ ശരീരം ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (ന്യൂട്ടന്റെ ആദ്യ നിയമം), എന്നാൽ കാറിന്റെ ചുമരുകളോ സീറ്റ് ബെൽറ്റോ നിങ്ങളെ ഒരു വൃത്താകൃതിയിൽ ചലിപ്പിക്കാൻ ഒരു ബലം പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഇത് പുറത്തേക്ക് തള്ളപ്പെടുന്നതിന്റെ സംവേദനം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

6. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു കാർ റോഡിൽ തിരിയുമ്പോൾ, ഘർഷണം എന്ത് പങ്കാണ് വഹിക്കുന്നത്?

   ഉത്തരം: ടയറുകളും റോഡും തമ്മിലുള്ള ഘർഷണം ഒരു കാറിനെ തിരിയാൻ അനുവദിക്കുന്ന ആവശ്യമായ കേന്ദ്രീകൃത ബലം നൽകുന്നു. മതിയായ ഘർഷണം ഇല്ലെങ്കിൽ, കാർ അതിന്റെ ഉദ്ദേശിച്ച വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാത പിന്തുടരുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടുകയും സ്ലിപ്പ് ചെയ്യുകയോ ചെയ്യും.

7. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയുടെ ആരം പകുതിയായി കുറച്ചാലും വേഗത മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയാണെങ്കിൽ കേന്ദ്രബിന്ദുബലം എങ്ങനെ മാറുന്നു?

   ഉത്തരം: ആരം പകുതിയാക്കി വേഗത അതേപടി തുടരുകയാണെങ്കിൽ, കേന്ദ്രബിന്ദുബലം ഇരട്ടിയാകും, കാരണം കേന്ദ്രബിന്ദുബലം ആരത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്.

8. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനത്തിൽ കേന്ദ്രീകൃത ബലം ഇല്ലാതെ അപകേന്ദ്രബലം ഉണ്ടാകാൻ കഴിയാത്തത് എന്തുകൊണ്ട്?

   ഉത്തരം: ഒരു ഭ്രമണ റഫറൻസ് ഫ്രെയിമിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രതിപ്രവർത്തന അല്ലെങ്കിൽ "സാങ്കൽപ്പിക" ബലമാണ് അപകേന്ദ്രബലം. ഇത് വസ്തുക്കളെ ഭ്രമണ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തേക്ക് തള്ളുന്നതായി തോന്നുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു വസ്തു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയിൽ നീങ്ങണമെങ്കിൽ, കേന്ദ്രത്തിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു യഥാർത്ഥ ബലം ഉണ്ടായിരിക്കണം, അതാണ് കേന്ദ്രബിന്ദു ബലം. കേന്ദ്രബിന്ദു ബലമില്ലാതെ, ആരംഭിക്കുന്നതിന് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം ഉണ്ടാകില്ല, അതിനാൽ, അപകേന്ദ്രബലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണയില്ല.

9. ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണബലം എങ്ങനെയാണ് ചന്ദ്രന്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭ്രമണപഥത്തിന് കാരണമാകുന്നത്?

   ഉത്തരം: ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണബലം ചന്ദ്രനെ ഭൂമിക്കു ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണപഥത്തിൽ നിലനിർത്തുന്ന കേന്ദ്രീകൃത ബലമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ ഗുരുത്വാകർഷണ ആകർഷണം ഇല്ലായിരുന്നെങ്കിൽ, ചന്ദ്രൻ അതിന്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള) ഭ്രമണപഥത്തിന് പകരം ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുമായിരുന്നു.

10. ഒരു പന്തിൽ കെട്ടിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചരട് അതേ വേഗതയിൽ വൃത്താകൃതിയിൽ കറക്കുമ്പോൾ പകുതിയായി ചെറുതായാൽ, ചരടിലെ പിരിമുറുക്കം എങ്ങനെ മാറും?

ഉത്തരം: വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയുടെ ആരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സ്ട്രിങ്ങിന്റെ നീളം പകുതിയാക്കി കുറയ്ക്കുമ്പോൾ വേഗത സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുകയാണെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ കേന്ദ്രീകൃത ബലം (അതിനാൽ സ്ട്രിങ്ങിലെ പിരിമുറുക്കവും) ഇരട്ടിയാകും. കാരണം, കേന്ദ്രീകൃത ബലം (ഈ സാഹചര്യത്തിലെ പിരിമുറുക്കവും) ആരത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്.