വെക്റ്ററുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

വെക്റ്ററുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനം

1. വെക്റ്ററിന്റെയും സ്കെയിലറിന്റെയും അളവുകൾ

അടിസ്ഥാനപരവും ഉരുത്തിരിഞ്ഞതുമായ അളവുകൾക്ക് പുറമേ, ഭൗതിക അളവുകളെ ഇപ്പോഴും രണ്ട് തരങ്ങളായി തിരിക്കാം, അതായത് സ്കെയിലർ അളവുകൾ, വെക്റ്റർ അളവുകൾ. പിണ്ഡം, ദൂരം, സമയം, വ്യാപ്തം തുടങ്ങിയ അളവുകൾ സ്കെയിലർ അളവുകളാണ്, വ്യാപ്തം മാത്രമുള്ളതും എന്നാൽ ദിശയില്ലാത്തതുമായ അളവുകൾ. സ്ഥാനചലനം, പ്രവേഗം, ത്വരണം, ബലം തുടങ്ങിയ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുകൾ വെക്റ്റർ അളവുകളാണെങ്കിൽ, മാഗ്നിറ്റ്യൂഡും ദിശയും ഉള്ള അളവുകൾ.

a. വ്യത്യാസം സെക്കന്റുകൾക്കിടയിൽകാലാറിന്റെയും വെക്റ്ററിന്റെയും അളവ്

ഒരു പന്തിന്റെ പിണ്ഡം 400 ഗ്രാം ആണെന്ന് നിങ്ങൾ പറഞ്ഞാൽ, പന്തിന്റെ പിണ്ഡം അറിയാൻ ഈ പ്രസ്താവന മതിയാകും. പന്തിന്റെ പിണ്ഡം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ദിശ ആവശ്യമില്ല. അതുപോലെ സമയം, താപനില, വ്യാപ്തം, സാന്ദ്രത മുതലായവയിലും. കാന്തിമാനത്തിൽ മാത്രം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത നിരവധി ഭൗതിക അളവുകളുണ്ട്. ഒരു കുട്ടി 100 മീറ്റർ വരെ നീങ്ങുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ പറഞ്ഞാൽ, ഈ പ്രസ്താവന പര്യാപ്തമല്ല. നിങ്ങൾ ചോദിച്ചേക്കാം, അവൻ എവിടേക്കാണ് നീങ്ങിയത്? അത് വടക്കോ, തെക്കോ, കിഴക്കോ, പടിഞ്ഞാറോ ആണോ? അതുപോലെ, നിങ്ങൾ 200 N ശക്തിയിൽ മേശ തള്ളുന്നുവെന്ന് പറഞ്ഞാൽ.

നിങ്ങൾ എവിടേക്കാണ് വാഹനമോടിക്കുന്നത്? ശരി, അത്തരം അളവുകളെ വെക്റ്റർ അളവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിന് വ്യാപ്തിയും ദിശയും വിശദീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വെക്റ്റർ അളവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ സ്ഥാനചലനം, ത്വരണം, പ്രേരണ, ആക്കംആ അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.

ബി. ഒരു വെക്റ്റർ വരയ്ക്കുക

ഒരു അമ്പടയാളം കൊണ്ടാണ് വെക്‌ടറിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയിലേക്ക് ചൂണ്ടുന്ന തരത്തിലാണ് അമ്പടയാളം എപ്പോഴും വരയ്ക്കുന്നത്. അമ്പടയാളത്തിന്റെ നീളത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ കാന്തിമാനം എന്ന് വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 2 N കാന്തിമാനമുള്ള, വടക്കുകിഴക്കോ 45 ദിശയിലോ ഉള്ള ഒരു ബല വെക്‌ടറിന്റെ (F) ചിത്രത്തിൽ.^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്.

സി. ആർules വേണ്ടി wവെക്റ്ററിന്റെ റൈറ്റിംഗ് അളവുകൾ

ഒരു വെക്റ്റർ എഴുതുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ കൈയക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ ചിഹ്നം സാധാരണയായി വലിയക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇറ്റാലിക്സിൽ എഴുതുന്നു, അതിനു മുകളിൽ ഒരു അമ്പടയാളം ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. അച്ചടിച്ച പുസ്തകങ്ങൾക്ക്, വെക്റ്റർ ചിഹ്നങ്ങൾ വലിയക്ഷരങ്ങളിൽ ബോൾഡായി എഴുതുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, F. വെക്റ്ററിന്റെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിന്, നമ്മൾ കൈയക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് എഴുതപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, |F|. അച്ചടിച്ച പുസ്തകങ്ങൾക്ക്, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഇറ്റാലിക്സിൽ എഴുതപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, F.

2. വെക്റ്ററുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ - ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ

വെക്റ്ററുകൾ ഗ്രാഫിക്കായി ചേർക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്, അതിൽ ടെയിൽ-ടു-ടിപ്പ് രീതിയും സമാന്തരചലന രീതിയും ഉൾപ്പെടുന്നു.

a. വെക്‌ടറുകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള ടെയിൽ-ടു-ടിപ്പ് രീതി

എ, ബി എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു. വെക്‌ടർ എ = 3 സെ.മീ x-അക്ഷവുമായി (കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്) യോജിക്കുന്നു. വെക്‌ടർ ബി = 2 സെ.മീ 30 കോണായി മാറുന്നു.^o x-അക്ഷത്തിലേക്ക് (വടക്കുകിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്). ടെയിൽ-ടു-ടിപ്പ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് A, B എന്നിവ ഗ്രാഫിക്കായി ചേർക്കുക. a) R = A + B b) R = A – B

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടറിന്റെ (R) കാന്തിമാനം ഒരു റൂളർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടറിന്റെ ദിശ ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്.

അറിയപ്പെടുന്ന വെക്‌ടറുകൾ A, B, C. വെക്‌ടർ A = 3 സെ.മീ x-അക്ഷവുമായി (കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്) യോജിക്കുന്നു. വെക്‌ടർ B = 2 സെ.മീ 30 കോണായി മാറുന്നു.^o x-അക്ഷത്തിലേക്ക് (വടക്കുകിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്). വെക്റ്റർ C = 1 സെ.മീ 60 കോണായി മാറുന്നു.^o x-അക്ഷത്തിലേക്ക് (വടക്കുകിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്). ടെയിൽ-ടു-ടിപ്പ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് A, B, C എന്നിവ ഗ്രാഫിക്കായി ചേർക്കുക.

a) ആർ = എ + ബി + സി

b) R = A – B – C

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ (R) ഒരു റൂളർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്.

ബി. സമാന്തരചലന രീതി

അറിയപ്പെടുന്ന വെക്‌ടറുകൾ A, B, C. വെക്‌ടർ A = 3 സെ.മീ x-അക്ഷവുമായി (കിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്) യോജിക്കുന്നു. വെക്‌ടർ B = 2 സെ.മീ 30 കോണായി മാറുന്നു.^o x-അക്ഷത്തിലേക്ക് (വടക്കുകിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്). വെക്റ്റർ C = 1 സെ.മീ 60 കോണായി മാറുന്നു.^o x-അക്ഷത്തിലേക്ക് (വടക്കുകിഴക്ക് ദിശയിലേക്ക്). ഒരു സമാന്തരചലനം ഉപയോഗിച്ച് A, B, C എന്നിവ ഗ്രാഫിക്കായി ചേർക്കുക.

എ) ആർ = എ + ബി

ബി) ആർ = എ – ബി

സി) ആർ = എ + ബി + സി

d) ആർ = എ – ബി – സി

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ (R) ഒരു റൂളർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നത്.

3. വെക്റ്ററുകളുടെ സങ്കലനം - aവിശകലനപരമായ രീതി

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തിയും ദിശയും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒരു സമീപനമാണ്. ഫലങ്ങളുടെ കൃത്യത, സ്കെയിൽ വരയ്ക്കുന്നതിലും വായിക്കുന്നതിലും നിങ്ങൾ കാണിക്കുന്ന കൃത്യതയെയും കൃത്യതയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തിയും ദിശയും ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളിലൂടെ കൂടുതൽ കൃത്യമായി ലഭിക്കും.

a. കോസൈൻ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് 2 വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുന്നു.

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

C = ഫലമായ വെക്റ്റർ

A = വെക്റ്റർ 1

ബി = വെക്റ്റർ 2

cos ∠(A, B) = A, B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന കോൺ

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1:

F₁ = 2 N എന്നത് x-അക്ഷത്തിന് 30 കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു, F₂ = 3 N 60 ന്റെ കോൺ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്, θ = 30^o.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 2:

F₁ = 2 N x-അക്ഷവുമായി, F യുമായി യോജിക്കുന്നു.₂ = 3 N 90 ന്റെ കോൺ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്, θ = 90^o.

ബി. ഘടകങ്ങൾ അനുസരിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു

താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, x-അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും ഒരു നിശ്ചിത കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ F അവലോകനം ചെയ്യുക. F_x കൂടാതെ ഫാ_y വെക്റ്റർ F ന്റെ ഘടക വെക്റ്ററുകളാണ്.

ഘടക വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

F_x = എഫ് കോസ് θ

F_y = എഫ് പാപം θ

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ F അവലോകനം ചെയ്യുക.₁ കൂടാതെ ഫാ₂ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, x-അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും ഒരു നിശ്ചിത കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. F_1x കൂടാതെ ഫാ_1y വെക്റ്റർ F ന്റെ ഘടകങ്ങളാണ്₁, അതിനാൽ എഫ്_2x കൂടാതെ ഫാ_2y വെക്റ്റർ F ന്റെ ഘടകങ്ങളാണ്₂.

ഘടക വെക്റ്റർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

F_1x = എഫ്₁ കോസ് θ

F_1y = എഫ്₁ പാപം θ

F_2x = എഫ്₂ കോസ് θ

F_1y = എഫ്₁ പാപം θ

ഘടക വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു:

F_x = എഫ്_1x + F_2x

F_y = എഫ്_1y + F_2y

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1:

20 N ഉം 30 കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതുമായ വെക്റ്റർ F ന്റെ ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക.^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്.

F_x = (20 N)(കോസ് 30)^o) = 17 എൻ

F_y = (20 N)(പാപം 30^o) = 10 എൻ

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 2:

F₁ = 20 N 30 ന്റെ കോൺ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.^o x-അക്ഷത്തെയും F-നെയും കുറിച്ച്₂ = 15 N എന്നത് x-അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും 180o കോൺ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടറിന്റെ വ്യാപ്തിയും ദിശയും നിർണ്ണയിക്കുക.

F_1x = (20 N)(കോസ് 30)^o) = 17 എൻ

F_2x = എഫ്₁ = – 15 N

F_1y = (20 N)(പാപം 30^o) = 10 എൻ

F_2y = 0

ഘടക വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു:

F_x = എഫ്_1x - എഫ്_2x = 17 N – 15 N = 2 N

F_y = 10 എൻ

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ:

F₂ = എഫ്_x² + F_y² = 2² + 10² = 4 + 100 = 104

F = 10.2N

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ:

θ = ടാൻ-15 = 78.7^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 3:

F₁, എഫ്_2, കൂടാതെ ഫാ₃ 20 N, 30 N, 40 N. F എന്നിവയാണ്₁ 60 ന്റെ ഒരു കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്, F₂ 150 ന്റെ ഒരു കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്, F₃ 315 ന്റെ ഒരു കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ വ്യാപ്തിയും ദിശയും നിർണ്ണയിക്കുക.

F_1x = (20 N)(കോസ് 60)^o) = 10 എൻ

F_1y = (20 N)(പാപം 60^o) = 17 എൻ

F_2x = (30 N)(കോസ് 30)^o) = -26 എൻ

F_2y = (30 N)(പാപം 30^o) = 15 എൻ

F_3x = (40 N)(കോസ് 45)^o) = 28 എൻ

F_3y = (40 N)(പാപം 45^o) = -28 എൻ

ഘടക വെക്റ്റർ ചേർക്കുന്നു:

F_x = എഫ്_1x - എഫ്_2x + F_3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F_y = എഫ്_1y + F_2y - എഫ്_3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

ഫലമായ വെക്റ്റർ:

F² = എഫ്_x² + F_y² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160

F = 13N

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ ദിശ:

θ = ടാൻ^-1 0.3 = 17^o x-അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്