ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ.

V₁ = 30

വി ₂ = 30

വി ₃ = 40

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

V ₁ = 30, V ₁ നും x അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ = 30 ^o

V ₂ = 30, V ₂ നും x അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ = 30 ^o

V ₃ = 40, V ₃ നും x അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ = 0 ^o

ആവശ്യമുണ്ട് : ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകൾ

പരിഹാരം:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്.

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ്.

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. നെഗറ്റീവ് കാരണം ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു.

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ്.

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്.

V _3y = (V ₃ )(sin 0 ^o ) = (40)(0) = 0

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

വി _x = വി _1x – വി _2x + വി _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

V _y = V _1y + V _2y + V _3y = 15 + 15 = 30

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ :

2. പരസ്പരം ലംബമായി നിൽക്കുന്ന രണ്ട് ബലങ്ങൾ, F ₁ = 12 N ഉം F ₂ = 5 N ഉം. രണ്ട് ബലങ്ങളുടെയും ഫലം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ഫോഴ്‌സ് 1 (F ₁ ) = 12 ന്യൂട്ടൺ

ഫോഴ്‌സ് 2 (F ₂ ) = 5 ന്യൂട്ടൺ

ആവശ്യമുണ്ട് : ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്‌ടറുകൾ ( ΣF)

പരിഹാരം:

ΣF ² = എഫ് ₁ ² + എഫ് ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 ന്യൂട്ടൺ

3. മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ,

V₁ = 30

വി ₂ = 30

വി ₃ = 40

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

v ₁ = 30, നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിന് ഏകദേശം 30 ^o ഉണ്ടാക്കുന്നു.

v ₂ = 30, പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിന് സമീപം 30 ^o ഉണ്ടാക്കുന്നു.

v ₃ = 40, പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിന് സമീപം 0 ^o ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ആവശ്യമുണ്ട് : ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകൾ

പരിഹാരം:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ നെഗറ്റീവ് )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്. )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്. )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40)(0) = 0

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

v _y = v _1y + v _2y + v _3y = 15 + 15 = 30

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ:

4. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ ഫലം എന്താണ്:

അറിയപ്പെടുന്നത്:

F₁ = 3 ന്യൂട്ടണുകൾ, നിർമ്മാതാക്കൾ 60^o പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച്

F ₂ = 3 ന്യൂട്ടണുകൾ, നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിന് സമീപം 0 ^o ഉണ്ടാക്കുന്നു.

F ₃ = 6 ന്യൂട്ടണുകൾ , നെഗറ്റീവ് y അക്ഷത്തിന് ഏകദേശം 60 ^{o ഉണ്ടാക്കുന്നു.}

ആവശ്യമുണ്ട്: ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ

പരിഹാരം:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ് )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ ( താഴേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു )

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ:

5. രണ്ട് ബലങ്ങൾ, F ₁ = 15 N ഉം F _{2 = 9 N ഉം} . രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ 60° ആണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ ഫലം എന്താണ്?

ആവശ്യമുണ്ട്:

ഫോഴ്‌സ് 1 (F ₁ ) = 15 ന്യൂട്ടൺ

ഫോഴ്‌സ് 2 (F ₂ ) = 9 ന്യൂട്ടൺ

കോൺ ( θ ) = 60 ^o

ആവശ്യമുണ്ട്: ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ

പരിഹാരം:

6. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മൂന്ന് വെക്‌ടറുകളുടെ ഫലം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

F₁ = 20 ന്യൂട്ടൺ, F നും ഇടയിലുള്ള കോൺ₁ x അക്ഷം = 0

F ₂ = 20 ന്യൂട്ടണുകൾ, F ₂ നും x അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ = 60

F ₃ = 24 ന്യൂട്ടണുകൾ, F ₃ നും x അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ = 60

ആവശ്യമുണ്ട്: ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ

പരിഹാരം:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (വലത്തേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ്

F _1y = (F ₁ )(sin 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. നെഗറ്റീവ് കാരണം ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു.

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം പോസിറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ (മുകളിലേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ പോസിറ്റീവ്

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. നെഗറ്റീവ് കാരണം ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് x അക്ഷത്തിൽ (ഇടത്തേക്ക്) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു.

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N നെഗറ്റീവ് കാരണം ഈ വെക്റ്റർ ഘടകം നെഗറ്റീവ് y അക്ഷത്തിൽ ( താഴേക്ക് ) പോയിന്റ് ചെയ്യുന്നു.

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ:

എഫ് _x = എഫ് _1x – എഫ് _2x – എഫ് _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ: