ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം

ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിലും പ്രോബബിലിറ്റിയിലും ഏറ്റവും സാധാരണയായി കാണപ്പെടുന്ന ഡിസ്ക്രീറ്റ് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളിൽ ഒന്നാണ് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ. സ്വതന്ത്ര ബൈനറി ട്രയലുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം ഈ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വിവരിക്കുന്നു (രണ്ട് ഫലങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ട്രയലുകൾ: വിജയം അല്ലെങ്കിൽ പരാജയം). ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, ദീർഘകാലാടിസ്ഥാനത്തിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ട്രയലിന്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തെ വിവരിക്കുന്ന പ്രതീക്ഷിത മൂല്യത്തിന്റെ ആശയം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ ആശയം ഈ ലേഖനം അവലോകനം ചെയ്യും.

ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ നിർവചനം

ഒരേപോലെയുള്ളതും സ്വതന്ത്രവുമായ നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിലാണ് ദ്വിപദ വിതരണം ഉണ്ടാകുന്നത്, ഓരോ പരീക്ഷണത്തിനും പരസ്പരവിരുദ്ധമായ രണ്ട് ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്, അവയെ സാധാരണയായി "വിജയം" എന്നും "പരാജയം" എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയം (തലകൾ അല്ലെങ്കിൽ വാലുകൾ) മറിച്ചിടുക, ഒരു പരീക്ഷാ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുക (ശരിയോ തെറ്റോ), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മെഡിക്കൽ പരീക്ഷണം (സുഖപ്പെടുത്തിയതോ അല്ലാത്തതോ).

ദ്വിപദ വിതരണം രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:
– n , പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.
– p , ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും വിജയസാധ്യത.

ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, n പരീക്ഷണങ്ങളിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണ് X എങ്കിൽ, n, p എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ X പിന്തുടരുന്നു, ഇത് X ~ ബൈനോമിയൽ(n, p) ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ

ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ ഇപ്രകാരമാണ്:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
എവിടെ:
– \( \binom{n}{k} \) എന്നത് \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ആയി കണക്കാക്കുന്ന ദ്വിപദ ഗുണകമാണ്.
– \( k \) എന്നത് വിജയങ്ങളുടെ ആവശ്യമുള്ള എണ്ണമാണ്.
– \( n \) എന്നത് പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.
– \( p \) എന്നത് ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും വിജയിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ്.
– \( (1-p) \) എന്നത് ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യതയാണ്.

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം

ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം അല്ലെങ്കിൽ ശരാശരി കേന്ദ്ര സ്ഥാനത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അളവുകളിൽ ഒന്നാണ്. ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്, ദ്വിപദം(n, p) പിന്തുടരുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം:
\[ ഇ(എക്സ്) = എൻപി \]

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ തെളിവ്

ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം np ആയിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ ലീനിയാരിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് ബൈനറി വേരിയബിളുകൾ അവയുടെ സംഭാവനയിലേക്ക് എങ്ങനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

n ബൈനറി പരീക്ഷണങ്ങളിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണമായി \( X \) എന്ന് നമുക്ക് നിർവചിക്കാം. കൂടുതൽ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, i-th പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആയിരിക്കട്ടെ \( X_i \), i-th പരീക്ഷണം വിജയിച്ചാൽ \( X_i = 1 \) എന്നും, പരാജയമാണെങ്കിൽ \( X_i = 0 \) എന്നും അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ, നമുക്ക് \( X \) എന്ന് എഴുതാം:
\[ എക്സ് = എക്സ്_1 + എക്സ്_2 + \ldots + എക്സ്_n \]

ഓരോ \( X_i \) ഉം വിജയസാധ്യത p ഉള്ള ഒരു ബൈനറി വേരിയബിൾ ആയതിനാൽ, \( X_i \) ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം ഇതാണ്:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]

X ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്, നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന്റെ രേഖീയ സ്വഭാവം ഉപയോഗിക്കാം:
\[ ഇ(എക്സ്) = ഇ(എക്സ്_1 + എക്സ്_2 + \ൽഡോട്ട്സ് + എക്സ്_എൻ) \]
\[ ഇ(എക്സ്) = ഇ(എക്സ്_1) + ഇ(എക്സ്_2) + \ldots + ഇ(എക്സ്_എൻ) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ ഇ(എക്സ്) = എൻപി \]

ഇത് കാണിക്കുന്നത് ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം np ആണെന്നാണ്.

ചിത്രീകരണ ഉദാഹരണം

ഒരു നല്ല നാണയം 10 ​​തവണ മറിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന തലകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:
– n = 10 (നാണയ ടോസുകളുടെ എണ്ണം)
– p = 0.5 (നാണയം ന്യായമായതിനാൽ തലകൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത)

അപ്പോൾ, പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം:
\[ E(X) = np = 10 \തവണ 0.5 = 5 \]

ഇതിനർത്ഥം, ദീർഘകാലത്തേക്ക് നമ്മൾ ഒരു നാണയം 10 ​​തവണ ആവർത്തിച്ച് എറിഞ്ഞാൽ, ശരാശരി 5 തവണ നമുക്ക് തലകൾ ലഭിക്കും എന്നാണ്.

വ്യതിയാനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന് പുറമേ, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ വേരിയൻസും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും മനസ്സിലാക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്.

ദ്വിപദ വിതരണത്തിന്, വേരിയൻസ് \( \sigma^2 \) ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും \( \sigma \) ഇപ്രകാരമാണ്:
\[ \സിഗ്മ^2 = np(1-p) \]
\[ \സിഗ്മ = \sqrt{np(1-p)} \]

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ എത്രത്തോളം വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് വേരിയൻസ് അളക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വേരിയൻസിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, കൂടാതെ ഡാറ്റയുടെ വ്യാപനവും അളക്കുന്നു, പക്ഷേ യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ അതേ യൂണിറ്റുകളിൽ.

ഉപസംഹാരം

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിലും പ്രോബബിലിറ്റിയിലും ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ്, ബിസിനസ്സ് മുതൽ സാമൂഹിക ശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം വരെയുള്ള വിവിധ യഥാർത്ഥ ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ ഇത് പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു. np ആയി കണക്കാക്കുന്ന ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം, ബൈനറി പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയിലെ ശരാശരി വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന ഉൾക്കാഴ്ച നൽകുന്നു. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം, വ്യതിയാനം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവയുടെ ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിലൂടെ, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചും ദൈനംദിന ജീവിതത്തിലെ ചില പ്രതിഭാസങ്ങളെ അത് എങ്ങനെ വിവരിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് വ്യക്തമായ ധാരണ നേടാൻ കഴിയും.

ഡാറ്റാ വിശകലനത്തിലും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും മാത്രമല്ല, സാധ്യതയും അനിശ്ചിതത്വവും വിലയിരുത്തേണ്ട തീരുമാനമെടുക്കലിലും ഈ അറിവ് വളരെയധികം ഉപയോഗപ്രദമാണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും ദ്വിപദ വിതരണവും മനസ്സിലാക്കുന്നത് കൂടുതൽ കൃത്യമായ പ്രവചനങ്ങൾ നടത്താനും കൂടുതൽ അറിവുള്ള തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാനും നമ്മെ സഹായിക്കും.