ഗ്രൂപ്പ് ഡാറ്റയുടെ വേരിയൻസും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ചർച്ച ചെയ്യുന്ന ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങൾ.
പെൻഡഹുലുവൻ
സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ, വേരിയൻസും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റയുടെ വ്യാപനം അല്ലെങ്കിൽ വ്യാപനം മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് നിർണായകമായ രണ്ട് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അളവുകളാണ്. ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഡാറ്റ എത്ര ദൂരെയാണ് വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് വേരിയൻസ് അളക്കുന്നു, അതേസമയം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വേരിയൻസിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ അതേ യൂണിറ്റുകളിലുള്ള ഒരു അളവ് നൽകുന്നു.
നിർവചനം
– വേരിയൻസ് (σ² അല്ലെങ്കിൽ S²): ഓരോ ഡാറ്റ മൂല്യത്തിനും ഡാറ്റയുടെ ശരാശരിക്കും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ശരാശരിയാണ്.
– സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (σ അല്ലെങ്കിൽ S): വേരിയൻസിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്.
ഗ്രൂപ്പ് ഡാറ്റയുടെ വേരിയൻസിനും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുമുള്ള ഫോർമുല
ഗ്രൂപ്പ് ഡാറ്റയ്ക്ക്, ഓരോ ക്ലാസിലെയും ഡാറ്റയുടെ ആവൃത്തിയാണ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഫോർമുല ഇതാ:
വകഭേദങ്ങൾ
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ
\[ S = \sqrt{S^2} \]
എവിടെ:
– \( f_i \) = ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും ആവൃത്തി.
– \( x_i \) = ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും മധ്യബിന്ദു.
– \( \bar{x} \) = ഗ്രൂപ്പ് ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി.
– \( N \) = ആകെ ഡാറ്റയുടെ എണ്ണം.
സാമ്പിൾ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം ആളുകളുടെ ഭാര ഡാറ്റ നമ്മുടെ കൈവശമുണ്ടെന്ന് കരുതുക.
| ഭാര ഇടവേള (കിലോ) | ആവൃത്തി (f) |
|—————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
ആദ്യപടി ഓരോ ക്ലാസിന്റെയും ( \( x_i \) ) മധ്യബിന്ദു നിർണ്ണയിക്കുക, തുടർന്ന് ശരാശരി ( \( \bar{x} \)) കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്.
1. മധ്യബിന്ദു ( \( x_i \) ) കണക്കാക്കുന്നു
\[ \ടെക്സ്റ്റ്{മിഡ്പോയിന്റ്} = \frac{\ടെക്സ്റ്റ്{ലോവർ ലിമിറ്റ്} + \ടെക്സ്റ്റ്{അപ്പർ ലിമിറ്റ്}}{2} \]
| ഭാര ഇടവേള (കിലോ) | ആവൃത്തി (f) | മധ്യബിന്ദു ( \( x_i \) ) |
|———————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. ശരാശരി ( \( \bar{x} \) ) കണക്കാക്കുന്നു
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
ആകെ ഡാറ്റയുടെ എണ്ണം \( N \):
\[ എൻ = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \തുക f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
അപ്പോൾ, ശരാശരി (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. വേരിയൻസ് ( \( S^2 \) ) കണക്കാക്കുന്നു
നമുക്ക് \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:
\[
\തുടരുക{വിന്യസിക്കുക}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\അവസാനം{അലൈൻ}
\]
ആവൃത്തി അനുസരിച്ച് ഗുണനം:
\[
\തുടരുക{വിന്യസിക്കുക}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\അവസാനം{അലൈൻ}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
ഇനി നമുക്ക് വേരിയൻസ് (\( S^2 \)) കണക്കാക്കാം:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \ഏകദേശം 32.85 \]
4. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ( \( S \) ) കണക്കാക്കുന്നു
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ( \( എസ് \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \ഏകദേശം 5.73 \]
ഉപസംഹാരം
മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
– ശരാശരി ശരീരഭാരം കണക്കാക്കുന്നു: 62.8 കി.ഗ്രാം
– വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുന്നു: 32.85 kg²
– സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കുന്നു: 5.73 കി.ഗ്രാം
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ വ്യാഖ്യാനം, ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള ഭാര ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനം ഏകദേശം 5.73 കിലോഗ്രാം ആണെന്നാണ്. ഇത് ശരാശരിയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഡാറ്റയുടെ വ്യാപനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് നമ്മുടെ ഡാറ്റ എത്രത്തോളം വേരിയബിൾ ആണെന്ന് അനുമാനിക്കാൻ സഹായിക്കും.
വേരിയൻസിനെയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനെയും കുറിച്ചുള്ള സമഗ്രമായ ധാരണ നിർണായകമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, ഗവേഷണം, പരിശോധന എന്നിവയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നവർക്ക്, ഗ്രൂപ്പുകളായോ വിതരണങ്ങളായോ ഡാറ്റ മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ. ഈ രണ്ട് അളവുകളും എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും വ്യാഖ്യാനിക്കാമെന്നും അറിയുന്നത് കൈയിലുള്ള ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മികച്ച തീരുമാനമെടുക്കലിന് സഹായിക്കും.
