പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ ഉദാഹരണ ചോദ്യങ്ങളും ചർച്ചയും
സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും സാധ്യതയിലും അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് സാധ്യതാ വിതരണം. ഒരു ക്രമരഹിത സംഖ്യയുടെ വിവിധ മൂല്യങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നതിന്റെ സാധ്യത മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ഡാറ്റയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് സാധ്യതാ വിതരണങ്ങൾക്ക് പല രൂപങ്ങളുണ്ടാകാം. ഏറ്റവും സാധാരണമായ രണ്ട് തരം സാധ്യതാ വിതരണങ്ങൾ വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമാണ്. ഈ വിഷയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നതിന് ഈ ലേഖനത്തിൽ, നിരവധി ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവലോകനം ചെയ്യുകയും സാധ്യതാ വിതരണങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുകയും ചെയ്യും.
ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ, അതായത്, ചില മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വേരിയബിളിന്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്ന ഒരു ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനാണ് ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ. ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനും പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനും.
ഉദാഹരണം 1: ദ്വിപദ വിതരണം
ബെർണൂലി പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെയാണ് ദ്വിപദ വിതരണം വിവരിക്കുന്നത്. ഓരോ ബെർണൂലി പരീക്ഷണത്തിനും രണ്ട് ഫലങ്ങളുണ്ട്: വിജയം അല്ലെങ്കിൽ പരാജയം. പരീക്ഷണത്തിലുടനീളം വിജയസാധ്യത സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു.
ചോദ്യം:
ഒരു ഫാർമസ്യൂട്ടിക്കൽ കമ്പനി 10 രോഗികളിൽ പുതിയ മരുന്ന് പരീക്ഷിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ഒരു രോഗിയിൽ മരുന്ന് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.7 ആണ്. 10 രോഗികളിൽ 7 പേരിൽ മരുന്ന് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക.
ചർച്ച:
\(x\) എന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ \(n = 10\) ഉം \(p = 0.7\ ഉം ഉള്ള ഒരു ദ്വിപദ വിതരണത്തെ പിന്തുടരുന്നു. ദ്വിപദ സാധ്യതാ പ്രവർത്തനം ഇതാണ്:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) എന്നതിന്:
\[ പി(എക്സ് = 7) = \ബൈനോം{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
ദ്വിപദ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നു \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
സാധ്യതാ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
\[ പി(എക്സ് = 7) = 120 \തവണ (0.7)^7 \തവണ (0.3)^3 \]
\[ പി(എക്സ് = 7) \ഏകദേശം 120 \തവണ 0.0823543 \തവണ 0.027 \]
\[ പി(എക്സ് = 7) \ഏകദേശം 0.231 \]
അപ്പോൾ, 10 രോഗികളിൽ 7 പേരിൽ മരുന്ന് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.231 അല്ലെങ്കിൽ 23.1% ആണ്.
ഉദാഹരണം 2: വിഷ വിതരണം
ഒരു നിശ്ചിത സമയത്തിനുള്ളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥല ഇടവേളയിൽ ഒരു അപൂർവ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം മാതൃകയാക്കാൻ പോയിസൺ വിതരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ചോദ്യം:
ഒരു കടയിൽ മണിക്കൂറിൽ ശരാശരി 4 ഉപഭോക്താക്കളെ ലഭിക്കുന്നു. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ കടയിൽ കൃത്യമായി 5 ഉപഭോക്താക്കളെ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?
ചർച്ച:
\(\lambda = 4\) എന്ന പാരാമീറ്ററുള്ള ഒരു പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ \(X\) റാൻഡം വേരിയബിൾ പിന്തുടരുന്നു. പോയിസൺ പ്രോബബിലിറ്റി മാസ് ഫംഗ്ഷൻ ഇതാണ്:
\[ പി(എക്സ് = കെ) = \frac{\ലാംഡ^കെ^{-\ലാംഡ}}{കെ!} \]
\(k = 5\) എന്നതിന്:
\[ പി(എക്സ് = 5) = \frac{4^{5}}{5!} \]
എണ്ണം:
\[ പി(എക്സ് = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ പി(എക്സ് = 5) \ഏകദേശം \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ പി(എക്സ് = 5) \ഏകദേശം 0.156 \]
അപ്പോൾ, ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ സ്റ്റോറിൽ കൃത്യമായി 5 ഉപഭോക്താക്കളെ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.156 ആണ്, അതായത് 15.6%.
തുടർച്ചയായ വിതരണം
അളക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിന് ഒരു നിശ്ചിത പരിധിക്കുള്ളിൽ ഏത് മൂല്യവും എടുക്കാൻ കഴിയുമ്പോഴാണ് തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളാണ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ.
ഉദാഹരണം 3: സാധാരണ വിതരണം
ഗൗസിയൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്ന നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, ശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു വിതരണമാണ്.
ചോദ്യം:
ഒരു നഗരത്തിലെ പ്രായപൂർത്തിയായ പുരുഷന്മാരുടെ ഉയരം സാധാരണയായി 170 സെന്റീമീറ്റർ ശരാശരിയും 10 സെന്റീമീറ്റർ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ആയിട്ടാണ് വിതരണം ചെയ്യുന്നത്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ഒരാൾക്ക് 160 സെന്റീമീറ്റർ മുതൽ 180 സെന്റീമീറ്റർ വരെ ഉയരമുണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?
ചർച്ച:
160 സെന്റിമീറ്ററിനും 180 സെന്റിമീറ്ററിനും z- സ്കോർ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. z- സ്കോർ ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) എന്നതിന്:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) എന്നതിന്:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
ഇനി നമുക്ക് z പട്ടികയിലെ -1 മുതൽ 1 വരെയുള്ള സാധ്യതാ മൂല്യങ്ങൾ നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. z = -1 മുതൽ z = 1 വരെയുള്ള മൂല്യം ഏകദേശം 0.6826 ആണ്.
അപ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു പുരുഷന് 160 സെന്റിമീറ്ററിനും 180 സെന്റിമീറ്ററിനും ഇടയിൽ ഉയരമുണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.6826 അല്ലെങ്കിൽ 68.26% ആണ്.
ഉദാഹരണം 4: എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ
ഒരു പോയിസൺ പ്രക്രിയയിലെ സംഭവങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള സമയം മാതൃകയാക്കാൻ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ചോദ്യം:
ഒരു കടയിൽ രണ്ട് ഉപഭോക്താക്കൾ എത്തുന്നതിനിടയിലുള്ള ശരാശരി സമയം 15 മിനിറ്റാണ്. രണ്ട് ഉപഭോക്താക്കൾ എത്തുന്നതിനിടയിലുള്ള സമയം 10 മിനിറ്റിൽ കുറവായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?
ചർച്ച:
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനിൽ \(\lambda\) എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉണ്ട്, അത് ശരാശരിയുടെ (\(\mu\)) വിപരീതമാണ്. 15 മിനിറ്റ് ശരാശരിയോടെ:
\[ \ലാംഡ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ക്യുമുലേറ്റീവ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഇതാണ്:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) എന്നതിന്:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ പി(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ പി(എക്സ് \ലെക് 10) \ഏകദേശം 1 – 0.5134 \]
\[ പി(എക്സ് \ലെക് 10) \ഏകദേശം 0.4866 \]
അപ്പോൾ, രണ്ട് ഉപഭോക്തൃ വരവുകൾക്കിടയിലുള്ള സമയം 10 മിനിറ്റിൽ താഴെയാകാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം 0.4866 അല്ലെങ്കിൽ 48.66% ആണ്.
ഉപസംഹാരം
ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകളുടെ സ്വഭാവം മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനും മനസ്സിലാക്കുന്നതിനും ഡിസ്ക്രീറ്റ്, തുടർച്ചയായ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ആശയങ്ങളാണ്. ഡിസ്ക്രീറ്റ് വേരിയബിളുകൾക്ക് ബൈനോമിയൽ, പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതേസമയം നോർമൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ തുടർച്ചയായ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ, പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളിലെ പ്രോബബിലിറ്റികൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും വ്യാഖ്യാനിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിഞ്ഞുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. സ്ഥിരമായ പരിശീലനത്തിലൂടെ, പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള നിങ്ങളുടെ കഴിവ് മെച്ചപ്പെടുകയും വിവിധ വിഷയങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുകയും ചെയ്യും.
