Момент на инерција за честички – проблеми и решенија

1. Две топки поврзани со прачка, како што е прикажано на сликата подолу. Игнорирајте ги прачките масаМасата на топката P е 600 грама, а масата на топката Q е 400 грама. Колку е момент на инерција на системот за AB?

Познато:

Оската на ротација е AB. Момент на инерција за честички – проблеми и решенија 1

m_p = 600 грама = 0.6 кг, м_q = 400 грама = 0.4 кг

r_p = 20 см = 0.2 м, р_q = 50 см = 0.5 м

Барани: Моментот на инерција на системот

Решение:

I = m_p r_p² + м_q r_q²

I = (0.6 кг)(0.2 м)² + (0.4 кг)(0.5 м)²

I = (0.6 кг)(0.04 м²) + (0.4 кг)(0.25 м²)

I = 0.024 кг м² + 0.1 кг м²

I = 0.124 кг м²

2. Прачката од AB со маса од 2 kg се ротирала околу точката A, моментот на инерција на прачката е 8 kg m.²Ако се ротира околу точката O (AO = OB), кој е моментот на инерција на прачката?

Познато: Момент на инерција за честички – проблеми и решенија 2

Маса на прачката AB (m) = 2 кг

Ако се ротира околу точката А така што радиусот на ротација (r) = должината на AB = r, тогаш моментот на инерција (I) = 8 kg m²

Сакаше: Ако се ротира околу точката O така што радиусот на ротација (r) = должината на AO = должината на OB = 1/2 r, тогаш кој е моментот на инерција на прачката?

Решение:

Јас = г-дин.²

8 kg m² = (2 кг) r²

8 m² = (2) r²

r²= 8 м² / 2

r²= 4 м²

r = 2 метри

Ако се ротира околу точката О, така што ½ r = 1 метар, тогаш моментот на инерција:

Јас = г-дин.²= (2 кг)(1 м)² = (2 кг)(1 м²) = 2 кг м²

3. Две топки поврзани со прачка како што е прикажано на сликата подолу. Игнорирајте ја масата на прачката. Колку е моментот на инерција на системот?

Познато:

Маса на топката А (м_A) = 200 грама = 0.2 кг Момент на инерција за честички – проблеми и решенија 3

Маса на топката Б (м_B) = 400 грама = 0.4 кг

Растојанието помеѓу топката А и оската на ротација (r_A) = 0

Видете исто така Рамномерно кружно движење - проблеми и решенија

Растојанието помеѓу топката Б и оската на ротација (r_B) = 25 см = 0.25 м

Барани: Момент на инерција на системот

Решение:

Моментот на инерција на топката А:

I_A = (м_A)(р_A²) = (0.2)(0)² = 0

Моментот на инерција на топката Б:

I_B = (м_B)(р_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 кг м²

Моментот на инерција на системот:

Јас = јас_A+ Јас_B = 0 + 0.025 = 0.025 кг м² = 25 х 10^-3 кг м²

4. Четири честички со различни маси, прикажани на сликата подолу. Определете го моментот на инерција на системот во однос на хоризонталната линија P.

Решение

Оската на ротација е хоризонталната линија P.

Познато: Момент на инерција за честички – проблеми и решенија 4

Маса на честичката А (m_A) = м

Маса на честичката Б (м_B) = 2м

Маса на честичката C (m_C) = 3м

Премин на честичката D (m_D) = 4м

Растојанието помеѓу честичката А и оската на ротација (r_A) = б

Растојанието помеѓу честичката Б и оската на ротација (r_B) = б

Растојанието помеѓу честичката C и оската на ротација (r_C) = 2б

Растојанието помеѓу честичката D и оската на ротација (r_D) = 2б

Барани: Моментот на инерција на системот во однос на хоризонталната линија P

Решение:

I = m_A r_A² + м_B r_B²+ м_C r_C²+ м_Dr_D²

I = (м)(б)²+ (2м)(б)² + (3м)(2б)²+ (4м)(2б)²

I = mb²+ 2 мб² + (3м)(4б²) + (4м)(4б²)

I = mb²+ 2 мб² + 12 мб²+ 16 мб²

I = 31 мб²

5. Четири честички поврзани со прачка. Игнорирајте ја масата на прачката. Определете го моментот на инерција околу оската на ротација низ честичката m.₁ и м₂, како што е прикажано на сликата подолу.

Познат

Маса на честичка 1 (м₁) = 1/4 кг Момент на инерција за честички – проблеми и решенија 5

Маса на честичка 2 (м₂) = 1/2 кг

Маса на честичка 3 (м₃) = 1/4 кг

Маса на честичка 4 (м₄) = 1/4 кг

Растојание помеѓу честичката 1 и оската на ротација (r₁) = 0

Растојание помеѓу честичката 2 и оската на ротација (r₂) = 0

Растојание помеѓу честичката 3 и оската на ротација (r₃) = 10 см = 10/100 м = 1/10 м

Растојание помеѓу честичката 4 и оската на ротација (r₄) = 10 см = 10/100 м = 1/10 м

Видете исто така Линеарно движење – проблеми и решенија

Барани: Моментот на инерција

Решение:

I = m₁ r₁² + м₂ r₂²+ м₃ r₃²+ м₄r₄²

Јас = (1/4)(0)²+ (1/2)(0)² + (1/4)(1/10)²+ (1/4)(1/10)²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Јас = 1/400 + 1/400

Јас = 2/400

I = 1/200 кг.м²

Кој е моментот на инерција за честичка?
- одговорЗа една честичка со маса $m$ на далечина $r$ од оската на ротација, нејзиниот момент на инерција $I$ е дадена од $I = m \times r^{2}$ .
Зошто моментот на инерција често се нарекува „ротационен аналог“ на масата?
- одговорИсто како што масата е мерка за отпорот на објектот кон промените во неговото транслациско движење (поради вториот Њутнов закон), моментот на инерција е мерка за отпорот на објектот кон промените во неговото ротационо движење.
Како промената на растојанието на честичката од нејзината оска на ротација влијае на нејзиниот момент на инерција?
- одговорМоментот на инерција е пропорционален на квадратот на растојанието од оската на ротација. Ако го дуплирате растојанието, моментот на инерција ќе се зголеми за четири пати.
Зошто квадратот на растојанието е (r²) се користи во формулата за моментот на инерција наместо само растојанието?
- одговорКвадратот на растојанието се користи поради начинот на кој функционира кинетичката енергија при ротација. Во ротационо движење, секоја честичка од објектот придонесува за ротационата кинетичка енергија врз основа и на нејзината маса и на квадратот на нејзиното растојание од оската.
Како се менува моментот на инерција на честичка ако нејзината маса се зголеми трипати, а растојанието од оската останува константно?
- одговорАко масата се зголеми трипати, а растојанието се одржува константно, моментот на инерција исто така ќе се зголеми трипати бидејќи е директно пропорционален на масата.
Може ли честичка да има момент на инерција нула? Ако е така, под кои услови?
- одговорДа, честичката ќе има момент на инерција од нула ако се наоѓа директно на оската на ротација, што го прави нејзиното растојание $r$ од оската еднаква на нула.
Зошто различни објекти со иста маса и големина имаат различни моменти на инерција кога ротираат околу различни оски?
- одговорРаспределбата на масата околу оската на ротација го одредува моментот на инерција. Дури и ако два објекти имаат иста маса и големина, нивната распределба на масата во однос на оската на ротација може да се разликува, што доведува до различни моменти на инерција.
Дали моментот на инерција е скаларна или векторска величина?
- одговорМоментот на инерција е скаларна величина. Меѓутоа, за крути тела со сложени форми и повеќе оски на ротација, тој е претставен со тензор.
Ако две честички, секоја со маса $m$ , се наоѓаат на растојанија $r_{1}$ $r_{2}$ од оската на ротација, колку е комбинираниот момент на инерција?
- одговорМоментот на инерција е адитивен за одделни честички. Така, комбинираниот момент на инерција $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Како моментот на инерција е поврзан со зачувувањето на аголниот момент?
- одговорАголен импулс $L$ е производ на моментот на инерција $I$ и аголна брзина $ω$ , претставено со равенката $L = I \times ω$ Ако на системот не дејствуваат надворешни вртежни моменти, аголниот момент ќе остане константен. Ова значи дека ако моментот на инерција се промени (како кај уметничко лизгач кој ги влече рацете), аголната брзина мора да се прилагоди за да го одржи производот константен.