Како да се пресмета стандардна девијација
Стандардната девијација е една од најчесто користените статистички мерки за да се утврди колку се „раширени“ податоците од нивната средна вредност. Во реалниот живот, стандардната девијација ни помага да ја разбереме стабилноста или варијацијата на еден феномен: на пример, варијации во резултатите од тестовите, флуктуации во продажбата, разлики во висината, па дури и ризиците во финансиските податоци. Колку е помала стандардната девијација, толку се поблиску податоците до средната вредност. Обратно, голема стандардна девијација покажува дека податоците се далеку од средната вредност и имаат голема варијација.
Оваа статија ќе го разгледа значењето на стандардната девијација, употребената формула и чекорите за нејзино рачно пресметување преку лесни за разбирање примери.
1. Дефиниција на стандардна девијација
Стандардната девијација е квадратен корен од варијансата. Самата варијанса е просек од квадратите на разликите помеѓу секоја податочна точка и средната вредност. Зошто да се користи квадрат? Бидејќи разликите помеѓу податочните точки и средната вредност можат да бидат негативни или позитивни. Ако се соберат директно, негативните и позитивните разлики можат да се поништуваат, што резултира со погрешни резултати. Со квадратирање на разликите, сите вредности стануваат позитивни, што овозможува попрецизно мерење на распределбата на податоците.
Едноставно:
– Варијансата = мерка на распон во „квадратни“ единици.
– Стандардна девијација = мерка за распонот што се вратил на оригиналните единици на податоци.
Пример: ако податоците се во форма на резултати од тестови (единици за бодови), варијансата ќе биде во поени, додека стандардната девијација повторно ќе биде во поени, што го олеснува толкувањето.
2. Популација наспроти стандардна девијација на примерокот
Пред да пресметате, важно е да знаете каков тип на податоци имате:
1. Популација: податоците ги вклучуваат сите членови кои треба да се истражат.
Формулата за стандардна девијација на популацијата го користи делителот N (број на податоци).
2. Примерок: податоците се само дел од популацијата, обично се користат за претставување на поголема популација.
Формулата за стандардна девијација на примерокот користи делител (n − 1) за да ја корегира пристрасноста на проценката. Оваа корекција се нарекува Беселова корекција.
Во секојдневната пракса (на пр. истражувања, анкети, анализа на класи), податоците често се сметаат за примерок, па затоа делителот е (n − 1).
3. Формула за стандардна девијација
A. Формула за стандардна девијација на популацијата
Да претпоставиме дека податоците: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Просек на населението:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Варијансата на популацијата:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Стандардна девијација на популацијата:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
Б. Пример формула за стандардна девијација
Просечна вредност на примерокот:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Варијанса на примерокот:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Стандардна девијација на примерокот:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Чекори за рачно пресметување на стандардната девијација
За полесно разбирање, го користиме примерот со податоци за резултатите од испитот на 5 студенти:
Податоци: 60, 70, 70, 80, 90
Да претпоставиме дека овие податоци се примерок (често кај примерите за учење).
Чекор 1: Пресметајте го просекот
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Значи, просечниот резултат е 74.
Чекор 2: Пресметајте ја разликата помеѓу секој податок и просекот
Креирај колона за разлики \((x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Чекор 3: Измерете ја разликата
Пресметај \((x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Чекор 4: Собери ги квадратите на разликите
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Чекор 5: Пресметајте ја варијансата (за примерок, поделете со n − 1)
Бидејќи n = 5, тогаш n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Значи, варијансата на примерокот е 130.
Чекор 6: Квадратен корен од варијансата за да се добие стандардната девијација
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Значи, стандардната девијација на податоците е приближно 11,40. Ова значи дека, во просек, резултатите на учениците отстапуваат за приближно 11 поени од средната вредност од 74.
5. Брз начин: Алтернативна формула (пресметка)
Освен горенаведениот рачен метод, постои и пресметковна формула која често се користи за забрзување на пресметките, особено ако има многу податоци:
Варијанса на примерокот:
\[
s^2 = \frac{\збир x_i^2 – \frac{(\збир x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Оваа формула избегнува пресметување на разликите една по една, но сепак бара прецизност при пресметување на збирот на квадратите на податоците.
Сепак, за концептуално разбирање, методот чекор-по-чекор (разлика → квадрат → збир) е обично полесен и побезбеден од грешки.
6. Интерпретација на стандардна девијација
Стандардната девијација не запира само на броеви, туку мора да се толкува:
– Мала стандардна девијација: податоците се групирани близу до средната вредност, варијацијата е мала, резултатите се поконзистентни.
– Голема стандардна девијација: податоците се распространети далеку од просекот, варијацијата е голема, резултатите се помалку конзистентни.
На пример, да претпоставиме дека две класи имаат ист просечен резултат, 74. Ако класата А има стандардна девијација од 5, а класата Б стандардна девијација од 15, тогаш резултатите во класата А се порамномерни и постабилни. Класата Б има поголема варијација: некои се многу ниски, а некои се многу високи.
7. Чести грешки
Некои вообичаени грешки при пресметување на стандардна девијација:
1. Заборавив да направам разлика помеѓу примерок и популација, па затоа делителот е погрешен (N наспроти n − 1).
2. Погрешно пресметување на просекот, што резултира со погрешни сите последователни чекори.
3. Заборавање да се пресмета разликата на квадрата или правење грешка при вадење на квадратен корен на крајот.
4. Аритметички грешки при собирање или пресметување на квадрати на броеви.
Спречувањето на грешките може да се направи со креирање табела за пресметка и двојно проверување на резултатите.
Затворање
Пресметувањето на стандардната девијација всушност не е тешко ако правилно ги следите чекорите: пресметајте ја средната вредност, пронајдете ја разликата помеѓу секој збир на податоци, квадрирајте ги разликите, соберете ги, делете (со n или n − 1), а потоа извадете го квадратниот корен. Со разбирање на стандардната девијација, можете да процените колку се конзистентни вашите податоци и колку варијации има.
Ако сакате, можам да создадам и дополнителни примери со повеќе податоци, примери на групирани податоци (табели со фреквенции) или како да се пресмета стандардна девијација со помош на Excel/Google Sheets.
