Примерни прашања и дискусија за примената на интегралите при пресметување на површината на рамна рамнина
Во наставата по математика, интегралите често се среќаваат во анализата. Една од најпознатите примени на интегралите е пресметувањето на површината под крива или рамнина. Во оваа статија ќе бидат разгледани неколку примери на проблеми и ќе се дискутира примената на интегралите за пресметување на површината на рамнина.
Вовед во теоријата
Пред да преминеме на примерниот проблем, да го разгледаме основниот концепт за пресметување на површината под крива со помош на интеграли. Ако имаме функција f(x) што е континуирана на интервалот [a, b], тогаш површината под кривата y = f(x) од x = a до x = b е:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геометриски, ова значи дека ја сумираме површината на многу тенок правоаголник од x = a до x = b.
Пример за прашање 1
Соал
Пресметајте ја површината под кривата y = x² во интервалот [1, 3].
Дискусија
За да ја пресметаме површината, го користиме интегралот:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Започнуваме со наоѓање на антидериватот на \(x^2 \). Антидериватот на \(x^2 \) е \( \frac{x^3}{3} \). Тогаш интегралот станува:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Запомнете дека треба да го пресметаме антиизводот на границите на интегралот:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Значи, површината под кривата y = x² од x = 1 до x = 3 е:
\[ \frac{26}{3} \, \text{единица за површина} \]
Пример за прашање 2
Соал
Определете ја површината на регионот ограничена со кривата y = x³ и линиите x = 1 и x = 2.
Дискусија
За да ја пресметаме површината, го користиме интегралот:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Како и обично, почнуваме со наоѓање на антидериватот на \(x^3 \). Антидериватот на \(x^3 \) е \( \frac{x^4}{4} \). Интегралот станува:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Пресметајте ги границите на интегралот:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Значи, површината под кривата y = x³ од x = 1 до x = 2 е:
\[ \frac{15}{4} \, \text{единица за површина} \]
Пример за прашање 3
Соал
Определете ја површината на регионот ограничена со кривите y = x² + 1 и y = 2x + 2 во интервалот x = 0 до x = 1.
Дискусија
Прво, треба да ги пронајдеме пресечните точки за да ги одредиме границите на интеграцијата. Решението на \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Користејќи ја квадратната формула:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Сепак, за горните и долните граници помеѓу 0 и 1, не треба да го користиме квадратното решение, туку само обичната интегрална граница од 0 до 1. Потоа, пресметајте ја површината на горната y крива минус најниската y крива според овие граници:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Поедноставување на функцијата:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Потоа, го наоѓаме антидериватот:
Антидериватот на \((-x^2) \) е \(-\frac{x^3}{3} \),
Антидериватот на \((2x) \) е \(x^2 \),
Антидериватот на \((1) \) е \(x \).
Така што,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Следна евалуација:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Значи, површината на регионот ограничена со кривите y = x² + 1 и y = 2x + 2 на интервалот [0, 1] е:
\[ \frac{5}{3} \, \text{единица за површина} \]
-
Од горенаведените примери, можеме да видиме како интегралите можат да се користат за пресметување на површината под крива или помеѓу две криви. Со правилно разбирање на основните концепти на интегралите и антидеривативните техники, пресметувањето на овие површини станува многу систематско и ефикасно. Се надеваме дека овој напис го зголеми нашето разбирање за примената на интегралите во реалниот свет, особено во областа на мерење на површината на рамнинските површини.
