Ireo teny avy amin'ny asa aljebraika: Torolàlana feno
Ny derivative an'ny asa iray dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy sy matematika amin'ny ankapobeny. Tsy amin'ny teoria ihany no mihatra io foto-kevitra io fa misy fampiharana azo ampiharina amin'ny sehatra isan-karazany ihany koa, anisan'izany ny fizika, ny injeniera, ny toekarena ary ny siansa informatika. Hodinihin'ity lahatsoratra ity ny derivative algebra an'ny asa iray, manomboka amin'ny famaritana fototra ka hatramin'ny fampiharana sarotra kokoa.
Famaritana ny Derivatives
Ao amin'ny matematika, ny derivative an'ny fonction iray dia maneho ny tahan'ny fiovan'ny fonction raha oharina amin'ny variable tsy miankina aminy. Raha ny marina, ny derivative dia azo heverina ho toy ny fironan'ny tsipika tangent mankany amin'ny curve amin'ny teboka iray. Raha \( y = f(x) \), dia ny derivative an'ny fonction dia aseho ho \( f'(x) \) na \( \frac{dy}{dx} \).
Fomba fiasa voafetra
Ny famaritana ara-pomba ofisialy ny derivative dia mampiasa ny foto-kevitry ny fetra. Raha toa ka fonction mitohy ny \( f(x) \), dia faritana toy izao ny derivative voalohany amin'ilay fonction:
\[
f'(x) = lim_{{h 0}} f(x+h) – f(x)}{h}
\]
Eto, ny \( h \) dia fiovana kely eo amin'ny \( x \). Io fetra io, raha misy, dia manome ny tahan'ny fiovana na ny fironan'ny \( f(x) \) tsara indrindra eo amin'ny teboka \( x \).
Fitsipika fototra amin'ny fanavahana
1. Fitsipika tsy miovaova:
Raha toa ka tsy miovaova ny \( c \) ary ny \( f(x) = c \), dia:
\[
f'(x) = 0
\]
2. Fitsipika momba ny laharana:
Raha \( f(x) = x^n \) ho an'ny isa tena izy \( n \), dia:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
3. Fitsipika tsy miovaova roa sosona:
Raha toa ka \( f(x) = cg(x) \) ho an'ny asa rehetra \( g(x) \) ary tsy miova \( c \), dia:
\[
(cf(x))' = cf'(x)
\]
4. Fitsipika fanampiny:
Raha asa roa azo diferansaina ny \( f(x) \) sy \( g(x) \) dia:
\[
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
\]
5. Fitsipika momba ny fampitomboana:
Raha asa roa azo diferansaina ny \( f(x) \) sy \( g(x) \) dia:
\[
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]
6. Fitsipika momba ny fizarana:
Ho an'ny asa roa \( f(x) \) sy \( g(x) \) izay azo sarahina amin'ny \( g(x) \neq 0 \), dia:
\[
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\]
7. Fitsipika momba ny rojo:
Raha \( y = f(u) \) ary \( u = g(x) \), dia:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\]
Ohatra amin'ny fampiharana
Ohatra 1: Aoka hatao hoe \( f(x) = 4x^3 – 2x + 7 \). Dia azo kajy toy izao manaraka izao ny derivative an'ny \( f(x) \):
\[
f'(x) = 12x^2 – 2
\]
Eto, mampihatra ny fitsipika fahefana sy ny fitsipika tsy miovaova roa sosona isika.
_Ohatra 2:_ Diniho \( g(x) = (2x^2 – 3x)(x^3 + 1) \). Mba hahitana \( g'(x) \), dia mampiasa ny fitsipika fampitomboana isika:
\[
g'(x) = (2x^2 – 3x)'(x^3 + 1) + (2x^2 – 3x)(x^3 + 1)'
\]
\[
= (4x – 3)(x^3 + 1) + (2x^2 – 3x)(3x^2)
\]
\[
= 4x(x^3 + 1) – 3(x^3 + 1) + 6x^4 – 9x^3
\]
\[
= 4x^4 + 4x – 3x^3 – 3 + 6x^4 – 9x^3
\]
\[
= 10x^4 – 12x^3 + 4x – 3
\]
Fampiharana tena izy amin'ny derivatives
1. Fizika:
Matetika ny fizika dia mampiasa ny derivatives mba hahatakarana ny foto-kevitry ny hafainganam-pandeha sy ny hafainganana. Ohatra, raha ny \( s(t) \) no toerana misy ny zavatra iray mifandraika amin'ny fotoana \( t \), dia ny hafainganam-pandeha \( v(t) \) no derivative voalohany amin'ny toerana \( s(t) \), ary ny hafainganana \( a(t) \) no derivative amin'ny hafainganam-pandeha.
2. Toekarena:
Ao amin'ny toekarena, ny derivatives dia ampiasaina mba hahitana ny tahan'ny fiovana marginal. Ohatra amin'ny fampiharana izany ny marginal cost, izay mamaritra ny fiovan'ny totalin'ny fandaniana miaraka amin'ny famokarana singa fanampiny iray.
3. Teknika:
Ao amin'ny injeniera, ny derivatives dia ampiasaina amin'ny famakafakana ny fahamarinan-toerana sy ny fanaraha-maso ny rafitra. Ohatra, ao amin'ny mekanika ara-drafitra, ny derivatives dia ampiasaina hamaritana ny fihenjanana sy ny fihenjanana amin'ny zavatra.
4. Sary sy Fiolahana:
Ampiasaina ihany koa ny derivatives mba hahitana ireo teboka ambony indrindra sy ambany indrindra eo amin'ny fiolahana amin'ny fonction iray, izay zava-dehibe amin'ny optimisation.
Famaranana
Ny fahaizana mifehy ny foto-kevitry ny derivative an'ny asa algebra dia tena ilaina mba hahatakarana ireo trangan-javatra matematika isan-karazany sy ny fampiharana azy ireo eo amin'ny fiainana andavanandro. Amin'ny fampiasana ireo fitsipika fototra momba ny fanavahana, dia afaka mahita mora foana ireo derivative an'ny asa isan-karazany isika ary mampihatra azy ireo hamahana olana tena izy amin'ny sehatra isan-karazany. Antenaina fa ity lahatsoratra ity dia hanome fahatakarana feno momba ny derivative an'ny asa algebra.
Referensi
Mba hampitomboana ny fahalalanao momba ny derivatives, dia manoro hevitra mafy izahay ny famakiana boky fianarana kajy toy ny "Calculus" nosoratan'i James Stewart na "Advanced Calculus" nosoratan'i Michael Spivak. Fanampin'izany, ireo loharano an-tserasera sy fampianarana an-tsary isan-karazany dia mety hanampy tokoa.
