Famakafakana ny Fihemorana Mifanitsy Tsotra
Teknika statistika ampiasaina handinihana ny fifandraisana misy eo amin'ny variables quantitative roa ny regression linear tsotra. Ny variable izay ezahina vinavinaina dia antsoina hoe variable dependent na response, raha toa kosa ka ny variable ampiasaina hanaovana ny vinavina dia antsoina hoe variable independent na predictor. Ao amin'ny regression linear tsotra, dia miezaka mitady ny tsipika mahitsy tsara indrindra izay mamaritra ny fifandraisana misy eo amin'ireo variables roa ireo isika.
Hevitra fototra momba ny Fihemorana Tsipika Tsotra
Ny regression linear tsotra dia mifototra amin'ny fiheverana fa misy fifandraisana linear eo amin'ny variable miankina \(Y\) sy ny variable tsy miankina \(X\). Ny endrika ankapoben'ny modely regression linear tsotra dia:
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon \]
Aiza:
– \( Y \) no fiovaovan'ny miankina.
– \( X \) no fiovaovana tsy miankina.
– Ny \( \beta_0 \) dia ny intercept, izay ny sandan'ny \(Y\) rehefa \(X = 0\).
– Ny \( \beta_1 \) dia ny tehezan-kavoana na ny gradient, izay ny salan'isa fiovana eo amin'ny \(Y\) isaky ny fiovana eo amin'ny \(X\).
– Ny \( \epsilon \) dia ny hadisoana na ny teny sisa tavela izay maneho ny fiovaovan'ny \(Y\) izay tsy azo hazavaina amin'ny \(X\).
Ny tanjon'ny regression linear tsotra dia ny manombana ireo masontsivana \(\beta_0\) sy \(\beta_1\) mba hahafahana mampiasa ny modely haminavina ny sandan'ny \(Y\) mifandraika amin'ny sandan'ny \(X\).
Fomba Famaritana ny Kuadra kely indrindra
Ny iray amin'ireo fomba ampiasaina matetika indrindra amin'ny fampifanarahana modely regression linear tsotra dia ny fomba Least Squares. Ity fomba ity dia mikendry ny hampihena ny fitambaran'ny efamira amin'ny fivilian-dàlana mitsangana eo amin'ny fandinihana tena izy sy ny soatoavina vinavinan'ny modely. Aoka hatao hoe manana fandinihana n misy tsiroaroa \((x_i, y_i)\) ho an'ny \(i = 1, 2, …, n\). Ny asa hohafohezina dia:
S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \]
Mba hahitana ny \(\beta_0\) sy \(\beta_1\) izay mampihena ity asa ity, dia raisintsika ny derivative ampahany amin'ny \(S(\beta_0, \beta_1)\) mifandraika amin'ny parameter tsirairay ary apetraho ho aotra ireo derivative ireo. Azo tsotsorina toy izao manaraka izao ny kajy matematika:
\[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]
\[ \beta_0 = \bar{y} – \beta_1 \bar{x} \]
Aiza:
– Ny salan'isa amin'ny \(\bar{x}\) dia \(X\)
– Ny salan'isa amin'ny \(\bar{y}\) dia \(Y\)
Rehefa avy nahazo ireo masontsivana \(\beta_0\) sy \(\beta_1\), dia azo ampiasaina ny modely regression linear tsotra mba haminavina ny sandan'ny \(Y\) ho an'ny sandan'ny \(X\ tsirairay.
Fiheverana ao amin'ny Fihemorana Linear Tsotra
Mba hahazoana valiny azo antoka sy azo itokisana, ny regression linear tsotra dia mihevitra zavatra maromaro:
1. Linearity: Tsy maintsy linear ny fifandraisana misy eo amin'ny variable miankina sy ny variable tsy miankina.
2. Fahaleovantena: Tsy maintsy mahaleo tena ny fandinihana.
3. Homoscedasticity: Tsy maintsy tsy miova ny fiovaovana sisa tavela manerana ny sandan'ny variable tsy miankina.
4. Ara-dalàna sisa tavela: Tsy maintsy manaraka fizarana ara-dalàna ny sisa tavela (fahadisoana).
Raha tsy tanteraka ireo vinavina ireo dia tsy ho azo itokisana ny vokatry ny modely fihemorana tsipika tsotra ary mety tsy ho afaka hanao vinavina marina.
Fanombanana ny Modely Fihemorana
Ny fomba iray hanombanana ny fahombiazan'ny vinavinan'ny modely regression linear tsotra dia ny fampiasana ny Coefficient of Determination (\(R^2\)). Ny coefficient of determination dia mampiseho ny ampahany amin'ny fiovaovana ao amin'ny variable miankina izay azo hazavaina amin'ny alàlan'ny fiovaovana ao amin'ny variable tsy miankina.
R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]
Aiza:
– Ny \(\hat{y}_i\) dia ny sandan'ny \(Y\) vinavinaina.
– Ny \(y_i\) no tena sandan'ny \(Y\).
– Ny \(\bar{y}\) dia ny salan'isan'ny sandan'ny \(Y\).
Ny sandan'ny \(R^2\) dia eo anelanelan'ny 0 sy 1. Ny sandan'ny \(R^2\) akaikin'ny 1 dia midika fa afaka manazava ny ankamaroan'ny fiovaovana ao amin'ny variable miankina ilay modely.
Fampiharana amin'ny fiteny fandaharana
Mba hampiharana ny regression linear tsotra, dia afaka mampiasa rindrambaiko statistika na fiteny fandaharana isan-karazany isika. Ity ambany ity ny ohatra iray amin'ny fampiharana amin'ny Python mampiasa ny tranomboky `scikit-learn`:
“`python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot ho plt
avy amin'ny sklearn.linear_model import LinearRegression
avy amin'ny sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
Data
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)
modely
modely = LinearRegression ()
model.fit (X, y)
Faminaniana
y_pred = model. maminany (X)
Koefisiena
beta_0 = modely.fisakanana_
beta_1 = modely.coef_[0]
print(f'Intercept: {beta_0}')
print(f'Slope: {beta_1}')
print(f'Salan'isa fahadisoan-dàlana: {mean_squared_error(y, y_pred)}')
print(f'Koefficient determination (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')
Teti-drakitra sy tsipika regression
plt.scatter(X, y, loko='manga')
plt.plot(X, y_pred, loko='mena')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show ()
""
Ao amin'ny ohatra etsy ambony, ampidirina aloha ireo tranomboky ilaina, farito ny angona \(X\) sy \(Y\), ary avy eo ampiasao ny zavatra `LinearRegression` avy amin'ny `scikit-learn` mba hampifanaraka ny modely amin'ny angona. Rehefa voapetraka ny modely, dia manao vinavina isika ary manisa ny coefficients, ary koa ny salan'isa efamira diso sy ny coefficients determination. Farany, dia asehontsika ny angona sy ny tsipika regression.
Famaranana
Fitaovana famakafakana statistika mahery vaika ampiasaina hanazavana ny fifandraisana misy eo amin'ny variables quantitative roa ny regression linear tsotra. Amin'ny alalan'ny fiheverana fototra momba ny linearity, ny fahaleovantena, ny homoscedasticity, ary ny normality, dia afaka maminavina ny sandan'ny variable miankina isika mifototra amin'ny sandan'ny variables tsy miankina. Ny fomba Least Squares dia manome fomba mahomby hampifanaraka ny tsipika regression sy hamaritana ny parameter tsara indrindra. Ny fanombanana ny modely amin'ny alàlan'ny coefficient determination (R2) dia manome fahatakarana ny fomba fiasan'ny modely.
Na dia manana fetrany aza ny regression linear tsotra, toy ny fahafahana mikirakira variables roa ihany sy ireo vinavina tsy maintsy tanterahina, ity teknika ity dia mbola fototra manan-danja amin'ny statistika sy ny famakafakana angon-drakitra, ary matetika ampiasaina ho dingana voalohany amin'ny fahatakarana ny fifandraisana misy eo amin'ireo variables alohan'ny hidirana amin'ny fomba sarotra kokoa.
