Fanoratana ny Derivative an'ny Function iray
Pendahuan
Ao amin'ny matematika, indrindra fa ny kajy, ny derivative dia foto-kevitra fototra izay mitana anjara toerana lehibe amin'ny fampiharana isan-karazany. Ny derivative dia tsy ampiasaina amin'ny matematika teorika ihany fa amin'ny siansa, injeniera, toekarena ary sehatra maro hafa koa. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka amin'ny antsipiriany momba ny derivative an'ny asa iray, izay mandrakotra ny fototra, ny fitsipika manan-danja ary ny ohatra fampiharana azy.
Fototry ny Derivatives
Famaritana ny Derivatives
Ny derivative an'ny asa iray dia mamaritra ny tahan'ny fiovan'ny asa raha oharina amin'ny fiovaovan'ny asa tsy miankina aminy. Raha ny fahitana azy, ny derivative dia azo faritana ho ny fironan'ny tsipika tangent izay mikasika ny grafikan'ny asa amin'ny teboka iray.
Raha \( y = f(x) \), dia ny derivative voalohany an'ny \( f \) mifandraika amin'ny \( x \) dia asehon'ny \( f'(x) \) na \( \frac{dy}{dx} \). Ny famaritana ara-dalàna ny derivative dia omena amin'ny alalan'ity fetra manaraka ity:
f'(x) = lim_{{h \to 0}} f(x+h) – f(x)}{h}
Fanamarihana avy amin'ny teny nalaina
Misy karazana fanamarihana maromaro ampiasaina matetika amin'ny fanoratana derivatives:
1. Fanamarihan'i Leibniz: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Fanamarihana Lagrange: \( f'(x) \)
3. Fanamarihan'i Newton: \( y' \)
4. Fanamarihan'i Euler: \( Df(x) \)
Ny fanamarihana tsirairay dia manana ny fampiasana azy manokana sy ny sahan-kevitra izay ampiasana azy matetika kokoa.
Fitsipika fototra amin'ny fanavahana
Fitsipika momba ny fanampiana sy ny fanalana
Raha asa roa azo diferansaina ny \( f(x) \) sy \( g(x) \) dia:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Fitsipika momba ny fampitomboana
Ho an'ny asa roa \( u(x) \) sy \( v(x) \):
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Fitsipika momba ny fizarana
Raha asa roa ny \( u(x) \) sy \( v(x) \) ary ny \( v(x) \neq 0 \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Fitsipika rojo
Ho an'ny firafitry ny asa roa \( f(u) \) sy \( u(g) \):
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Ohatra amin'ny fampiharana
Ireo teny avy amin'ny asa polinômialy
Aoka hatao hoe \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Mba hahitana ny derivative an'ity asa ity dia ampiharintsika ireo fitsipika fototra momba ny fanavahana.
f'(x) = (3x^3) – (5x^2) + (2x) – (1)
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Ireo teny avy amin'ny asa exponential sy logarithmic
Raha \( f(x) = e^x \), dia ny derivative an'ny fonction exponential dia:
\[ f'(x) = e^x \]
Ho an'ny asa logaritma voajanahary \( f(x) = \ln(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Ireo teny nalaina avy amin'ny asa trigonometrika
Ho an'ny asa trigonometrika fototra:
– Raha f(x) = sin(x) dia f'(x) = cos(x)
– Raha f(x) = cos(x) dia f'(x) = -sin(x)
– Raha f(x) = tan(x) dia f'(x) = sec^2(x)
Teny nalaina avy amin'ny asa mitambatra
Aoka hatao hoe \( f(x) = \sin(2x) \). Azontsika ampiharina ny fitsipiky ny rojo:
f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Derivatives mandroso
Vokatra faharoa sy manaraka
Ny derivative faharoa dia ny derivative an'ny asa derivative voalohany. Raha \( y = f(x) \) dia ny derivative faharoa dia asehon'ny \( f”(x) \) na \( \frac{d^2y}{dx^2} \). Ary toy izany hatrany ho an'ny derivative fahatelo \( f”'(x) \) na \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Aoka hatao hoe \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2
f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x
f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24
Fampiharana ny Derivatives amin'ny Fizika
Ao amin'ny fizika, ny derivatives dia matetika ampiasaina hamaritana ny hafainganam-pandeha sy ny hafainganana. Aoka hatao hoe \( s(t) \) dia fonction an'ny toerana raha oharina amin'ny fotoana \( t \). Ny hafainganam-pandeha \( v(t) \) no derivative voalohany amin'ny toerana:
\[ v(t) = s'(t) \]
Ny hafainganana \( a(t) \) dia ny derivative voalohany amin'ny hafainganam-pandeha na ny derivative faharoa amin'ny toerana:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Famaranana
Ny derivative an'ny asa iray dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy izay misy fampiharana miely patrana amin'ny sehatra samihafa. Ny fahatakarana mora foana ny derivative ho toy ny fironan'ny tsipika tangent dia manome fahatakarana manan-danja momba ny toetra sy ny fitondran-tenan'ny asa iray. Ny fahatakarana sy ny fahafahana mampihatra ny fitsipiky ny fanavahana toy ny fitsipiky ny rojo, ny fitsipiky ny vokatra, ary ny fitsipiky ny fizarana dia tena ilaina ho an'izay rehetra mianatra kajy. Amin'ny alàlan'ny ohatra tsotra sy fampiharana amin'ny fizika, ity lahatsoratra ity dia manantena ny hanome fahatakarana feno momba ny fanoratana ny derivative an'ny asa iray.
