manontolo
Hevitra fototra amin'ny kajy ny integral, mifandray akaiky amin'ny derivatives. Raha mamaritra ny fiovan'ny fiolahana na ny tehezan'ny fiolahana amin'ny teboka iray manokana ny derivatives, ny integral kosa dia mahafaoka ny velarana manontolo eo ambanin'ny fiolahana mandritra ny elanelam-potoana iray manokana. Fitaovana tena ilaina amin'ny matematika, fizika, injeniera ary sehatra maro hafa ny integral. Hodinihina amin'ny antsipiriany ato amin'ity lahatsoratra ity ny foto-kevitry ny integral, anisan'izany ny tantarany, ny famaritana azy, ny karazana integral, ny fampiharana azy, ary ny ohatra sasany amin'ny olana integral.
Tantara Manan-danja
Nampidirin'ireo mpahay siansa grika fahiny voalohany tamin'ny alalan'ny fomba "exhaustion" novolavolain'i Eudoxus ny integral ary taty aoriana dia nalazain'i Archimedes. Na izany aza, ny fivoaran'ny integral maoderina dia azo jerena hatrany amin'ny taonjato faha-17 tamin'ny alalan'ny asan'i Isaac Newton sy Gottfried Wilhelm Leibniz. Na dia niasa irery aza i Newton sy Leibniz, dia namorona kajy izay nahitana integral sy derivatives, foto-kevitra roa mifandraika amin'ny Theorem Fondamental of Calculus. Milaza ity theorem ity fa ny integration sy ny differentiation dia asa mivadika.
Nampiasa integral tao anatin'ny fizika i Newton mba hikajiana ny velarana eo ambanin'ny fiolahana maneho ny fiovan'ny hafainganam-pandeha miaraka amin'ny fotoana, hevitra iray tena ilaina amin'ny mekanika kilasika. Etsy ankilany, i Leibniz dia namorona ny fanoratana integral ∫ izay ampiasaintsika ankehitriny, avy amin'ny litera lava "s", fanafohezana ny summa (latina midika hoe "sum").
Famaritana ny integral
Azo heverina ho "anti-derivative" ny integral an'ny asa iray. Amin'ny ankapobeny, misy karazana integral roa izay matetika ampiasaina: ny integral tsy voafaritra sy ny integral voafaritra.
Integral tsy voafaritra
Ny integral tsy voafaritra amin'ny asa f(x) dia ny asa F(x) izay ny derivative an'ny F(x) dia f(x). Ny fanamarihana azy dia soratana toy izao:
∫ f(x) dx = F(x) + C
izay C dia tsy miovaova amin'ny fampidirana izay ilaina satria aotra ny derivative an'ny tsy miovaova. Ohatra tsotra amin'ny integral tsy voafetra ny:
∫ 2x dx = x² + C
Integral voafaritra
Ny integral voafaritra amin'ny asa f(x) avy amin'ny a mankany amin'ny b dia mamaritra ny velarana eo ambanin'ny fiolahana avy amin'ny x = a mankany amin'ny x = b. Voasoratra toy izao izy io:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
izay F(x) no antiderivative an'ny f(x). Ohatra:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
Karazana integral
Ankoatra ireo integral fototra noresahina etsy ambony, dia misy karazana integral hafa ampiasaina amin'ny matematika sy ny fampiharana azo ampiharina. Ireto ny sasany amin'izany:
Integral roa sosona
Ny integral roa sosona dia ny fampidirana variables roa na maromaro. Matetika ampiasaina amin'ny kajy maro refy izy io mba hikajiana ny volume ambanin'ny tany na ny sanda ara-kajy ho an'ny fonction an'ny variables roa na maromaro. Ireto misy ohatra:
∫∫_R f(x,y) dA
Lebesgue Integral
Ny integral Lebesgue dia fanafohezana ny integral Riemann ampiasaina amin'ny fikirakirana asa tsy ara-dalàna be loatra. Ity integral ity dia tena manan-danja indrindra amin'ny fanadihadiana tena izy sy ny teorian'ny mety ho azo atao.
Tsipika mitambatra
Ny integral tsipika dia mampiditra asa iray manaraka ny fiolahana na lalana iray ao anaty fiaramanidina na habaka iray. Tena ilaina amin'ny fizika sy ny injeniera izy io amin'ny fikajiana ny asa ataon'ny hery iray manaraka ny lalana iray.
∫_C F · dr
Fampiraisana ny velarana
Ny integral ambonin'ny tany dia manova ny integral roa sosona mba hampiharina amin'ny ambonin'ny tany amin'ny habaka telo refy. Matetika ampiasaina amin'ny elektrodinamika sy mekanika fluida izy io.
∫∫_S f(x,y,z) dS
Fampiharana mitambatra
Manana fampiharana isan-karazany amin'ny sehatry ny siansa isan-karazany ny integral. Anisan'ny fampiharana manan-danja indrindra ny:
Fizìka
Ao amin'ny fizika, ny integral dia matetika ampiasaina hikajiana ny asa, ny angovo ary ny habetsahana ara-fizika isan-karazany hafa. Ohatra, ny integral dia ampiasaina hikajiana ny asa ataon'ny hery iray amin'ny fihetsehan'ny singa iray:
W = ∫ F(x) dx
Zava-dehibe ihany koa ny integral amin'ny fitadiavana lanja, ny ivon'ny lanja, ny momen'ny inersia, ary ny fizarazarana lanja amin'ny zavatra ara-fizika.
antontan'isa
Ao amin'ny statistika sy ny teôrian'ny mety hitranga, ny integraly dia ampiasaina hikajiana ny mety hitranga sy ny fanantenana amin'ny fizarana mety hitranga isan-karazany. Ohatra iray amin'izany ny fikajiana ny mety hitranga mitambatry ny fiovaovan'ny kisendrasendra mitohy:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
Toe-karena
Ao amin'ny toekarena, ny integraly dia ampiasaina hikajiana ny tombombarotra manontolo, ny fandaniana ary ny ambim-bolan'ny mpanjifa/mpamokatra. Ohatra, mba hikajiana ny fandaniana manontolo ao anatin'ny fandaniana marginal:
Totalin'ny vidiny = ∫ MC(q) dq
ara-teknika
Ao amin'ny injeniera, ny integral dia matetika ampiasaina amin'ny famakafakana ny fihenjanana, ny fiovaovan'ny endrika, ary ny famindrana hafanana. Ny injeniera fanaraha-maso koa dia mampiasa integral ho an'ny rafitra fanaraha-maso integral ao amin'ny mpanara-maso PID (Proportional-Integral-Derivative).
Ohatra amin'ny olana integral
Ireto misy ohatra amin'ny olana integral sy ny vahaolana amin'izany:
Ohatra 1: Integral tsy voafaritra
Tadiavo ny integral tsy voafaritra an'ny f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
vahaolana:
Azo vahana amin'ny alalan'ny fitsipika fototra momba ny integral ity integral ity. Ampiana iray amin'ny exponent ary zaraina amin'ny exponent vaovao:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
Ohatra 2: Integral voafaritra
Tadiavo ny velarana eo ambanin'ny fiolahana f(x) = 2x manomboka amin'ny 1 ka hatramin'ny 4:
∫[1,4] 2x dx
vahaolana:
Voalohany, hitantsika ny antiderivative an'ny 2x, izay x². Avy eo, ampiharintsika ny fetra ambany sy ambony:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
Famaranana
Hevitra tena ilaina amin'ny kajy ny integral, izay maneho ny hevitra momba ny velarana eo ambanin'ny fiolahana sy ny fampiharana azy maro. Manomboka amin'ny tantarany tany Gresy fahiny ka hatramin'ny fivoarana manan-danja nataon'i Newton sy Leibniz, ary ny karazana sy fampiharana azy isan-karazany amin'ny siansa sy ny injeniera, ny integral dia mitana anjara toerana lehibe amin'ny rafitra matematika maoderina. Ny fahatakarana ny integral dia tsy vitan'ny hoe manampy antsika hamaha olana matematika fotsiny fa manokatra fahatakarana momba ny fampiharana azy maro amin'ny fiainana andavanandro sy ny tontolon'ny asa ihany koa.
