Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny Vectors sy ny fiasany
Ny vektôra dia foto-kevitra fototra amin'ny matematika sy fizika, izay matetika ampiasaina amin'ny sehatra siantifika isan-karazany. Ny vektôra dia maneho ny habetsahana amin'ny halehibe sy ny lalana. Ireto ambany ireto misy ohatra amin'ny olana mahakasika ny vektôra sy ny fifanakalozan-kevitra momba ny asa isan-karazany toy ny fanampiana, fanalana ary fampitomboana amin'ny skalar. Ity lahatsoratra ity dia hanome fahatakarana lalina momba ny fomba famahana olana mahakasika ny vektôra.
1. Fanampiana Vektera
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1
Raha omena vektôra roa amin'ny endrika singa:
A = (3, 4)
B = (1, 2)
Kajy ny vokatry ny fanampiana ny vektôra A sy B.
Discussion
Ny fanampiana vektôra dia atao amin'ny fanampiana ireo singa mifanaraka amin'ireo vektôra roa. Noho izany, afaka manao kajy isika
\[
A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
Koa, ny vokatry ny fanampiana ny vektôra A sy B dia (4, 6).
2. Fanalana Vektera
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2
Raha omena vektôra roa amin'ny endrika singa:
C = (5, 7)
D = (2, 3)
Kajy ny vokatry ny fanesorana ny vektôra C amin'ny vektôra D.
Discussion
Ny fanalana vektôra dia atao amin'ny fanesorana ireo singa mifanaraka amin'ireo vektôra roa. Noho izany, afaka manao kajy isika
\[
C – D = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Koa, ny vokatry ny fanesorana ny vektôra C sy D dia (3, 4).
3. Fampitomboana ny Vektera amin'ny Skalara
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3
Raha omena ny vektôra E = (4, -2) ary ny scalar k = 3. Kajy ny vokatry ny fampitomboana ny vektôra E amin'ny scalar k.
Discussion
Ny fampitomboana ny vektôra amin'ny scalar dia atao amin'ny fampitomboana ny singa tsirairay ao amin'ny vektôra amin'ny scalar. Noho izany, afaka manao kajy isika
\[
k E = 3 (4, -2) = (3 4, 3 -2) = (12, -6)
\]
Koa, ny vokatry ny fampitomboana ny vektôra E amin'ny scalar k dia (12, -6).
4. Vokatra Teboka
Ohatra amin'ny Fanontaniana 4
Raha omena vektôra roa amin'ny endrika singa:
F = (1, 3)
G = (4, 2)
Kajy ny vokatra teboka (dot product) an'ny vektôra F sy G.
Discussion
Ny vokatra teboka amin'ny vektôra roa dia ny fitambaran'ny vokatra avy amin'ireo singa mifanaraka aminy. Noho izany, afaka manao kajy isika
\[
F \cdot G = (1 4) + (3 2) = 4 + 6 = 10
\]
Noho izany, ny vokatra teboka an'ny vektôra F sy G dia 10.
5. Vokatra Mifandimby
Ohatra amin'ny Fanontaniana 5
Raha omena vektôra roa amin'ny 3D:
H = (2, -3, 1)
I = (1, 4, -2)
Kajy ny vokatra mifanindran'ny vektôra H sy I.
Discussion
Ny vokatra mifanindran'ny vektôra roa 3-dimensy dia vokarin'ny determinant an'ny matrice misy ny singa ao amin'ireo vektôra roa ireo. Ny vektôra vokarina dia manana ireto singa manaraka ireto:
\[
H \times I = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 sy -3 sy 1
1 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}
\]
Amin'ny fikajiana ny determinant, dia mahazo isika:
\[
H x I = (\mathbf{i}((-3)(-2) – (1)(4)) – \mathbf{j}(2(-2) – (1)(1)) + \mathbf{k}(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (2, 5, 11)
\]
Koa, ny vokatra mifandimby amin'ny vektôra H sy I dia (2, 5, 11).
6. Halavany na Haben'ny Vektera
Ohatra amin'ny Fanontaniana 6
Raha omena vektôra J = (6, 8). Kajio ny halavany (halehibeny) an'ny vektôra J.
Discussion
Ny halavany (habeny) amin'ny vektôra dia kajy amin'ny fampiasana ny raikipohy:
\[
J = x^2 + y^2
\]
Amin'ity tranga ity, \( x = 6 \) sy \( y = 8 \), ka:
\[
\| J \| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Noho izany, ny halavany (habeny) an'ny vektôra J dia 10.
7. Vektera singa
Ohatra amin'ny Fanontaniana 7
Raha omena vektôra K = (-5, 12). Tadiavo ny vektôra singa an'ny K.
Discussion
Ny vektôra tokana dia vektôra manana halavana 1. Mba hahitana ny vektôra tokana amin'ny vektôra iray, dia tsy maintsy mizara ny singa tsirairay amin'ny vektôra amin'ny halavany (habeny) amin'ny vektôra isika. Ny halavan'ny vektôra K dia azo kajy toy izao:
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Dia toy izao ny vektôra K:
\[
\hat{K} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)
\]
Koa, ny vektôra tokana an'ny vektôra K dia \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\).
Famaranana
Amin'ny alalan'ireo ohatra etsy ambony ireo, dia hitantsika ny fomba fiasan'ny vektôra sy ny asany amin'ny toe-javatra samihafa. Ny fanampiana sy fanalana vektôra dia ahitana ny fanampiana sy fanalana ireo singa mifandraika amin'izany. Ny fampitomboana vektôra dia azo atao amin'ny endrika scalar na dot product, ary amin'ny endrika cross product ho an'ny vektôra 3D. Afaka mamaritra ny halavan'ny vektôra mihitsy aza isika ary mahita ny vektôra unit-ny.
Tena ilaina ny mahatakatra ireo foto-kevitra fototra ireo satria ny vektôra dia ampiasaina amin'ny fampiharana maro amin'ny sehatra maro samihafa, anisan'izany ny fizika, ny injeniera ary ny grafika amin'ny solosaina. Raha ampy ny fanazaran-tena, dia afaka mahafehy ireo asa ireo isika ary mampihatra azy ireo amin'ny fanadihadiana sy famahana olana sarotra kokoa.
