Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fiovana eo amin'ny sehatra Cartesian
Lohahevitra manan-danja amin'ny matematika ny fiovana eo amin'ny sehatra Cartesian, indrindra fa ny jeometrika. Ireo fiovana ireo dia misy asa isan-karazany toy ny translasiona, ny taratra, ny fihodinana ary ny fanitarana, izay mikendry ny hamindra na hanova ny endriky ny zavatra iray amin'ny sehatra roa refy. Ity lahatsoratra ity dia handinika ohatra olana maromaro ary hiresaka momba azy ireo mifandraika amin'ny fiovana eo amin'ny sehatra Cartesian.
Karazana Fiovana
Alohan'ny hidirantsika amin'ny olana ohatra, andeha hojerentsika aloha ireto karazana fiovana manaraka ireto:
1. Fandikan-teny (Fiovana)
Ny fandikana dia ny fihetsehan'ny teboka na zavatra iray amin'ny sehatra iray amin'ny halavirana iray amin'ny lalana iray. Azo faritana toy izao ny fandikana:
\[
(x, y) \ rightarrow (x+a, y+b)
\]
izay ny \(a\) sy \(b\) dia ny halaviran'ny fifindran-toerana mitsivalana sy mitsangana.
2. Fisaintsainana
Ny taratra dia ny taratry ny teboka na zavatra iray eo amin'ny axe iray, na amin'ny axe-x izany, na amin'ny axe-y, na amin'ny tsipika hafa. Ohatra, ny taratra eo amin'ny axe-x:
\[
(x, y) \ rightarrow (x, -y)
\]
3. Fihodinana (Spin)
Ny fihodinana dia ny fihodinan'ny teboka na zavatra iray manodidina ny teboka afovoany amin'ny zoro iray. Ny fihodinana mifanohitra amin'ny famantaranandro amin'ny zoro iray \(\theta\) dia azo aseho toy izao:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Fanitarana (Scaling)
Ny fivelarana dia ny fiovan'ny haben'ny zavatra iray amin'ny alalan'ny anton-javatra mizana iray. Raha \(k\ ny anton-javatra mizana, dia azo aseho toy izao ny fivelarana:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Fanontaniana 1: Fandikana
Fanontaniana:
Manaova fandikan-teny eo amin'ny teboka \(A(2, 3)\) miaraka amin'ny fifindrana 5 units miankavanana ary 4 units miakatra.
Dinika:
Ny fandikana ny singa \(5\) miankavanana dia midika hoe mampitombo ny koordinate-x amin'ny \(5\). Ny fanambarana "4 units miakatra" dia midika hoe mampitombo ny koordinate-y amin'ny \(4\). Ny vokatry ny fandikana dia:
\[
(x, y) \ rightarrow (x+5, y+4)
\]
Koa ny teboka \(A(2, 3)\) aorian'ny fandikana dia lasa:
\[
(x+5, y+4) (2+5, 3+4) (7, 7)
\]
Koa, ny teboka \(A(2, 3)\) aorian'ny fandikana dia \(A'(7, 7)\).
Fanontaniana 2: Fisaintsainana
Fanontaniana:
Asehoy ny teboka \(B(-4, 7)\) manodidina ny axe-y.
Dinika:
Ny fisaintsainana manodidina ny axe-y dia manova ny koordinate-x ho ratsy amin'ny koordinate-x tany am-boalohany, raha toa kosa ka mijanona ho mitovy ny koordinate-y.
\[
(x, y) \ rightarrow (-x, y)
\]
Koa ny teboka \(B(-4, 7)\) aorian'ny fandinihana dia lasa:
\[
(x, y) (-(-4), 7) (4, 7)
\]
Koa, ny teboka \(B(-4, 7)\) aorian'ny fisaintsainana momba ny axe-y dia \(B'(4, 7)\).
Fanontaniana 3: Fihodinana
Fanontaniana:
Ahodino miankavia miankavanana ny teboka \(C(1, 2)\) amin'ny \(90^\circ\) miaraka amin'ny afovoany eo amin'ny fiandohana \((0, 0)\).
Dinika:
Azo aseho toy izao ny fihodinana \(90^\circ\) miankavia miankavanana:
\[
(x, y) \ rightarrow (-y, x)
\]
Ka ny teboka \(C(1, 2)\) aorian'ny fihodinana dia lasa:
\[
(x, y) \ rightarrow (-2, 1)
\]
Koa, ny teboka \(C(1, 2)\) aorian'ny fihodinana \(90^\circ\) miankavia dia \(C'(-2, 1)\).
Fanontaniana 4: Fivelarana
Fanontaniana:
Ampitomboy amin'ny alalan'ny "scale factor" ny teboka \(D(3, 4)\) \(k = 2\).
Dinika:
Ny fanitarana miaraka amin'ny anton-javatra mizana \(2\) dia midika hoe ampitomboina amin'ny \(2\ ny koordinate roa.
\[
(x, y) \ rightarrow (2x, 2y)
\]
Koa ny teboka \(D(3, 4)\) aorian'ny fanitarana dia lasa:
\[
(x, y) \ arrow (2 \ 3, 2 \ 4) \ arrow (6, 8)
\]
Koa, ny teboka \(D(3, 4)\) aorian'ny fanitarana miaraka amin'ny scale factor \(2\) dia \(D'(6, 8)\).
Fanontaniana 5: Fitambaran'ny Fiovana
Fanontaniana:
Eritrereto manodidina ny axe-x ary avy eo dia mivelatra miaraka amin'ny anton-javatra mizana \(k = 0.5\) eo amin'ny teboka \(E(8, -6)\).
Dinika:
Ny dingana voalohany dia ny mandinika ny x-axis:
\[
(x, y) \ rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Ny dingana faharoa dia ny fanaovana fanitarana miaraka amin'ny factor scale \(0.5\):
\[
(x, y) \ rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \ 8, 0.5 \ 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Koa, ny teboka \(E(8, -6)\) aorian'ny fisaintsainana momba ny x-axis sy ny fanitarana amin'ny alàlan'ny scale factor \(0.5\) dia \(E'(4, 3)\).
Fanontaniana 6: Fiovana miaraka amin'ny fihodinana sy ny fandikana
Fanontaniana:
Ahodino miankavia miankavanana ny teboka \(F(-3, 4)\) amin'ny \(180^\circ\) avy eo, dia adikao amin'ny vektôra \((2, -1)\ ny valiny.
Dinika:
Ny dingana voalohany dia ny mihodina amin'ny \(180^\circ\) mifanohitra amin'ny fihodin'ny famantaranandro:
\[
(x, y) \ rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) (3, -4)
\]
Ny dingana faharoa dia ny fanaovana fandikana amin'ny alalan'ny vector \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) (3+2, -4-1) (5, -5)
\]
Koa, ny teboka \(F(-3, 4)\) aorian'ny fihodinana \(180^\circ\) sy ny fandikana amin'ny alalan'ny vector \((2, -1)\) dia \(F'(5, -5)\).
Famaranana
Ny fiovana eo amin'ny sehatra Cartesian dia foto-kevitra manan-danja amin'ny jeometrika, izay mahafaoka asa isan-karazany toy ny fandikana, ny taratra, ny fihodinana ary ny fanitarana. Amin'ny fahatakarana ny fomba fiasan'ny karazana fiovana tsirairay, dia afaka manova mora foana ny toerana na ny endriky ny zavatra iray ao amin'ny sehatra isika. Amin'ny alalan'ireo ohatra etsy ambony, dia afaka mahita ny fampiharana azo ampiharina amin'ny fiovana isan-karazany sy ny fomba ahafahana mampiaraka azy ireo mba hahazoana fiovana sarotra kokoa. Antenaina fa ity lahatsoratra ity dia nanampy tamin'ny fahatakarana ny fiovana eo amin'ny sehatra Cartesian.
