Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fitomboana mivelatra
Ny fitomboana mivelatra dia foto-kevitra fototra amin'ny sehatra maro, anisan'izany ny toekarena, ny biolojia, ny varotra ary ny fizika. Eo amin'ny fiainana andavanandro, matetika isika no miatrika toe-javatra misy fitomboana mivelatra, toy ny fitomboan'ny mponina, ny fihenan'ny sandany noho ny fisondrotry ny vidim-piainana, ny fiparitahan'ny viriosy, sy ny maro hafa. Ity lahatsoratra ity dia hiresaka momba ny olana sy vahaolana isan-karazany mifandraika amin'ny fitomboana mivelatra, hanampy ny mpamaky hahatakatra bebe kokoa ity foto-kevitra ity.
Hevitra fototra momba ny fitomboana exponential
Ny fitomboana eksponensialy dia faritana ho fitomboana izay mitranga amin'ny tahan'ny tsy miovaova isaky ny fotoana. Amin'ny matematika, ny fitomboana eksponensialy dia azo faritana amin'ny alàlan'ny fampitoviana:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Aiza:
– \( N(t) \) no fitambaran'ny fotoana \(t \)
– \( N_0 \) no isa voalohany
– \( k \) dia ny tahan'ny fitomboana
– \( t \) dia fotoana
– Ny \( e \) dia ny laharan'i Euler (eo amin'ny 2.718 eo ho eo)
Raha tsara ny sandan'ny \( k \) dia mitombo araka ny tokony ho izy isika. Mifanohitra amin'izany kosa, raha ratsy ny \( k \) dia mihena araka ny tokony ho izy isika.
Ohatra Fanontaniana 1: Fitomboan'ny Mponina
Soal
Manana mponina 100,000 ny tanàna iray amin'ny voalohany. Raha mitombo 2% isan-taona ny mponina ao aminy, ho firy ny isan'ny mponina ao rehefa afaka 10 taona?
Penyelesaian
Voalohany, mila mamantatra ireo soatoavina fantatra isika:
– \( N_0 \) = 100,000
– \( k \) = 2% isan-taona = 0.02
– \( t \) = 10 taona
Hampiasa ny raikipohy fitomboana eksponensialy isika:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ampidiro ao amin'ny raikipohy ireo soatoavina fantatra:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
Eo amin'ny 1.2214 eo ho eo ny sandan'ny \( e^{0.2} \) eo ho eo.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Noho izany, ny mponina ao an-tanàna rehefa afaka 10 taona dia eo amin'ny 122,140 eo ho eo.
-
Ohatra Fanontaniana 2: Sanda Fampiasam-bola
Soal
Mametraka $5,000 ao amin'ny kaonty iray izay mandoa zanabola 5% isan-taona ianao. Ohatrinona ny sandan'ny tahirim-bolanao rehefa afaka 15 taona?
Penyelesaian
Fantaro ireo soatoavina:
– \( N_0 \) = 5,000
– \( k \) = 5% isan-taona = 0.05
– \( t \) = 15 taona
Mampiasa ny raikipohy fitomboana eksponensialy:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ampidiro ireo sanda fantatra:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
Ny tombana \( e^{0.75} \) dia eo amin'ny 2.117 eo ho eo.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Noho izany, eo amin'ny $10,585 eo ho eo ny sandan'ny tahiry azonao rehefa afaka 15 taona.
-
Ohatra 3: Fihenan-danjan'ny fiara
Soal
Mihena be dia be ny sandan'ny fiara vaovao mitentina $30,000, amin'ny tahan'ny 12% isan-taona. Ohatrinona no ho vidin'ny fiara rehefa afaka 5 taona?
Penyelesaian
Fantaro ireo soatoavina:
– \( N_0 \) = 30,000
– \( k \) = -12% isan-taona = -0.12
– \( t \) = 5 taona
Mampiasa ny raikipohy fitomboana eksponensialy:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ampidiro ireo sanda fantatra:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \]
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
Manodidina ny 0.5488 ny tombana \( e^{-0.6} \).
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Noho izany, ny sandan'ny fiara rehefa afaka 5 taona dia eo amin'ny $16,464 eo ho eo.
-
Ohatra Fanontaniana 4: Fiparitahan'ny viriosy
Soal
Tanàna iray misy mponina 200 tany am-boalohany no voan'ny viriosy amin'ny tahan'ny fitomboana haingana dia haingana 15% isan'andro. Firy ny isan'ny olona voan'ny aretina rehefa afaka 7 andro?
Penyelesaian
Fantaro ireo soatoavina:
– \( N_0 \) = 200
– \( k \) = 15% isan'andro = 0.15
– \( t \) = 7 andro
Mampiasa ny raikipohy fitomboana eksponensialy:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Ampidiro ireo sanda fantatra:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
Ny tombana \( e^{1.05} \) dia eo amin'ny 2.857 eo ho eo.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Noho izany, manodidina ny 571 ny isan'ny olona voan'ny aretina tao anatin'ny 7 andro.
-
Ireto misy ohatra amin'ny olana sy fifanakalozan-kevitra mifandraika amin'ny fitomboana eksponensialy. Ny fahatakarana ny fomba famahana ny olana momba ny fitomboana eksponensialy dia mety ho tena ilaina amin'ny fampiharana azo ampiharina isan-karazany amin'ny fiainana andavanandro. Raha ampy ny fampiharana, dia ho mora ny mianatra sy mampihatra ity hevitra ity araka izay ilaina.
