Ohatra amin'ny fanontaniana momba ny fanampiana vektôra amin'ny alalan'ny singa
Ny fanampiana vektôra dia fomba fiasa fototra amin'ny fizika sy matematika ampiasaina hahitana ny vokatry ny vektôra roa na maromaro. Ny fomba fiasa amin'ny lafiny singa amin'ny famahana ny fanampiana vektôra dia fomba tena ilaina, indrindra rehefa miatrika vektôra amin'ny refy roa na telo. Hanazava ny foto-kevitry ny fanampiana vektôra amin'ny lafiny singa ity lahatsoratra ity ary hanome ohatra olana sy vahaolana maromaro.
Ny Hevitra momba ny Fanampiana Vektera Singa
Azo zaraina ho singa roa ny vektôra rehetra ao amin'ny habaka roa refy (2D): singa x (mitsangatsangana) sy singa y (mitsangana). Amin'ny refy telo (3D), ny vektôra dia manana singa fanampiny, ny singa z (halalina).
Aoka hatao hoe manana vektôra roa A sy B isika. Azo aseho toy izao manaraka izao ny singa ao amin'ireo vektôra ireo:
– Ny Vector A dia manana singa \(A_x\) sy \(A_y\) amin'ny 2D (na koa \(A_z\) amin'ny 3D).
– Ny Vector B dia manana singa \(B_x\) sy \(B_y\) amin'ny 2D (na koa \(B_z\) amin'ny 3D).
Ny fanampiana ireo vektôra roa ireo dia hamokatra vektôra R izay manana ireto singa manaraka ireto:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Ho an'ny vektôra amin'ny 3D, ny singa z dia toy izao manaraka izao:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Rehefa avy mikajy ny singa tsirairay amin'ny vektôra vokarina isika dia afaka mahita ny modulus (halehibe) sy ny lalana alehan'ny vektôra vokarina amin'ny fampiasana ny raikipohy:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (ho an'ny 2D)
Na ho an'ny 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Ary ny fitarihan'ny vector vokatra dia azo faritana amin'ny alalan'ny zoro amin'ny axe koordinate.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Fanontaniana 1
Raha omena vektôra roa ao anaty fiaramanidina roa refy:
– A dia \(5 \, \text{unit}\) any atsinanana.
– B dia \(3 \, \text{unit}\) any avaratra.
Fantaro ny vektôra R vokarina.
Discussion
Voalohany, ovaintsika ho singa tsirairay avy ny vektôra.
– Vektera A : \(A = (5, 0)\) satria singa x ihany no ananany.
– Vektera B : \(B = (0, 3)\) satria singa y ihany no ananany.
Ireto ny fitambaran'ireo singa:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Dia toy izao ny vektôra R vokatr'izany:
\[ R = (5, 3) \]
Mba hikajiana ny halavany (modulus) an'ny vektôra R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \eo amin'ny 5.83 eo ho eo \]
Azo kajy amin'ny alalan'ny zoro θ amin'ny axe-x ny lalana alehan'ny vecteur R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \eo amin'ny 30.96^\circ \]
Noho izany, ny vector R vokarina dia manana halavana eo amin'ny 5.83 units eo ho eo ary mamorona zoro 30.96° amin'ny axe-x.
Fanontaniana 2
Raha omena vektôra roa amin'ny refy telo:
– A dia \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B dia \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Fantaro ny vektôra R vokarina.
Discussion
Voalohany, fantarinay ny singa ao amin'ny vektôra tsirairay:
– Vektôra A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vektera B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Ireto ny fitambaran'ireo singa:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Dia toy izao ny vektôra R vokatr'izany:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Mba hikajiana ny halavany (modulus) an'ny vektôra R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \eo amin'ny 7.81 \]
Azo kajy amin'ny alalan'ny cosinus an'ny director ny fitarihan'ny vecteur R raha oharina amin'ny axe x, y, ary z:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \eo amin'ny 0.512 eo ho eo \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \eo amin'ny 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \eo amin'ny 0.768 eo ho eo \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \eo amin'ny 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \eo amin'ny 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \eo amin'ny 67.64^\circ \]
Noho izany, ny vektôra R vokarina dia manana halavana eo amin'ny 7.81 units eo ho eo ary ny lalana izorany mifandraika amin'ny axe x, y, ary z dia 59.50°, 39.50°, ary 67.64°.
Fanontaniana 3
Raha omena vektôra roa:
– Manana halehibe 4 ny P ary mamorona zoro 45° amin'ny axe-x tsara.
– Manana halehibe 6 ny Q ary mamorona zoro 120° amin'ny axe-x tsara.
Fantaro ny vektôra R vokarina.
Discussion
Voalohany, zaraintsika ho singa x sy y ny vektôra:
– Vektera P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Vektera Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Ireto ny fitambaran'ireo singa:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Avy eo, ny vector R vokarina dia:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Mba hikajiana ny halavany (modulus) an'ny vektôra R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \eo amin'ny 8.03 \]
Fitarihan'ny vektôra R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
Na izany aza, ity zoro ity dia refesina manodidina ny axe-x ratsy, ka ny zoro tena izy ao anatin'ny olana dia:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \eo amin'ny 91.01^\circ \]
Noho izany, ny vector R vokarina dia manana halavana eo amin'ny 8.03 units eo ho eo ary mamorona zoro 91.01° amin'ny axe-x tsara.
Ity lahatsoratra ity dia niresaka momba ny fanampiana vektôra amin'ny lafiny singa, izay manome ohatra olana sy vahaolana maromaro. Ny fomba amin'ny lafiny singa dia tena ilaina amin'ny fanatsorana ny kajy sy ny fanomezana fomba rafitra hamahana ny olana vektôra amin'ny refy matematika amin'ny habaka.
