Ohatra amin'ny Fanontaniana Fifanakalozan-kevitra momba ny Fampiasana Vector
Ny fandidiana vektôra dia foto-kevitra fototra amin'ny matematika izay matetika miseho amin'ny sehatry ny fikarohana isan-karazany, toy ny fizika, ny injeniera ary ny siansa informatika. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka ohatra maromaro momba ny fandidiana vektôra sy ny vahaolana amin'izany isika mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa sy mivaingana kokoa. Ireo ohatra ireo dia handrakotra ny fandidiana fototra toy ny fanampiana sy fanalana vektôra, ary koa ny fandidiana mandroso kokoa toy ny fampitomboana scalar sy ny fampitomboana vektôra miampita.
1. Fanampiana sy fanalana vektôra
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1
Raha omena vektôra roa A sy B amin'ny endrika singa:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Kajy ny vokatry ny fanampiana sy ny fanalana ireo vektôra roa.
Discussion
Ho an'ny fanampiana vektora, dia ampiana ny singa mifanaraka tsirairay amin'ireo vektora roa.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Ho an'ny fanalana vektôra, dia esorintsika ny singa mifanaraka tsirairay amin'ireo vektôra roa ireo.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Fampitomboana Skalar amin'ny Vektera
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2
Raha omena vecteur C sy scalar k:
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
Kajy ny vokatra skalar an'ny vektôra C amin'ny skalar k.
Discussion
Ny fampitomboana ny skalar amin'ny vector iray dia atao amin'ny fampitomboana ny singa tsirairay ao amin'ny vector amin'ny skalar.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Vokatra Teboka
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3
Raha omena vektôra roa D sy E:
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Kajy ny vokatra teboka (dot product) an'ireo vektôra roa.
Discussion
Ny vokatra teboka (dot product) an'ny vektôra roa dia azo amin'ny fanampiana ny vokatra avy amin'ireo singa mifanaraka aminy.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Vokatra Mifandimby
Ohatra amin'ny Fanontaniana 4
Raha omena vektôra roa F sy G:
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Kajy ny vokatra mifanipaka amin'ireo vektôra roa.
Discussion
Ny vokatra mifandimby amin'ny vektôra roa ao amin'ny habaka telo refy dia azo amin'ny fampiasana ny determinant an'ny matrice voaforon'ireo vektôra ireo. Ny vokatra mifandimby dia omena amin'ny alalan'ny raikipohy:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Azo kajiana amin'izao fomba manaraka izao izany:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} {k} & -1 \end{vmatrix}
\]
Fikajiana ny determinant an'ny submatrix tsirairay:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Noho izany, ny vokatra mifanindran'ny F sy G dia:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Famaritana ny zoro eo anelanelan'ny vektôra roa
Ohatra amin'ny Fanontaniana 5
Raha omena vektera roa H sy I:
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Farito ny zoro misy eo amin'ireo vektôra roa.
Discussion
Azo jerena amin'ny alalan'ny fifandraisana misy eo amin'ny vokatra teboka sy ny haben'ny vektôra roa ny zoro \(\theta\) eo anelanelan'ny vektôra roa:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Voalohany, kajy ny vokatra teboka \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Manaraka, kajy ny haben'ny vektôra roa:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Avy eo, soloo ao amin'ny raikipohy zoro ireto soatoavina ireto:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Ho vokany farany, afaka mampiasa ny kajy isika mba hahitana ny sandan'ny zoro:
\[ \theta \eo amin'ny 73,4^\circ \]
Famaranana
Zava-dehibe amin'ny matematika sy ny siansa ny foto-kevitry ny asa vektôra. Ity lahatsoratra ity dia miresaka momba ny olana maromaro sy ny vahaolana amin'izany, manomboka amin'ny fanampiana sy fanalana vektôra, fampitomboana scalar, vokatra teboka, vokatra mifanipaka, ary famaritana ny zoro misy eo amin'ny vektôra roa. Amin'ny alalan'ireto ohatra ireto, dia manantena izahay fa hanatsara ny fahatakaranao ny asa vektôra ary hanampy anao hamaha olana misy vektôra amin'ny toe-javatra samihafa.
