Ohatra amin'ny Fanontaniana Fifanakalozan-kevitra momba ny fomba Least Squares
Ny fomba "Least Squares Method" (LEM) dia fomba statistika ampiasaina mba hahitana ny tsipika mifanaraka indrindra izay maminavina tsara indrindra ny angon-drakitra. Matetika ity fomba ity dia ampiasaina amin'ny famakafakana regression linear mba hamantarana ny fifandraisana misy eo amin'ny variables tsy miankina sy ny variables miankina. Ity lahatsoratra ity dia handrakotra ireo foto-kevitra fototra momba ny fomba "Least Squares Method", miaraka amin'ny ohatra sy fanazavana tsikelikely mba hahazoana fahatakarana lalindalina kokoa momba ny fomba fiasan'ity fomba ity.
Hevitra fototra momba ny fomba "Least Squares"
Ny tanjon'ny fomba "least squares" dia ny hampihena ny fitambaran'ny "squares" amin'ny fahasamihafana misy eo amin'ny sanda voamarika sy ny sanda vinavinan'ny modely regression. Azo soratana toy izao ny equation amin'ny tsipika regression linear tsotra:
\[ y = a + bx \]
Aiza:
– \( y \) no fiovaovan'ny miankina,
– \( x \) no fiovaovana tsy miankina,
– Ny \( a \) dia ny intercept (ny sandan'ny \( y \) rehefa \( x = 0 \)),
– \( b \) dia ny fironan'ny tsipika (fironan'ny tsipika, na coefficient regression).
Ny fomba "least squares" dia manombana ireo masontsivana \( a \) sy \( b \) izay mampihena ny asa manaraka:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Izay SSE no fitambaran'ny hadisoana efamira, \( y_i \) no sanda tena izy, ary \( \hat{y_i} = a + bx_i \) no sanda vinavinaina.
Dingana amin'ny fomba "Like Squares"
Mba hanazavana ny hevitra, dia hamaha olana iray ohatra izay mampiasa ny fomba "least squares" isika.
Ohatra amin'ny olana
Raha jerena ireto angon-drakitra manaraka ireto:
| x (Ora fianarana) | y (Isa azo tamin'ny fanadinana) |
|———————–|———————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Farito ny tsipika fihemorana lineary izay mifanaraka indrindra amin'ny angona.
Discussion
1. Fikajiana ny salan'isa eo amin'ny \( \bar{x} \) sy \( \bar{y} \)
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Fikajiana ny Paramètre \( b \) (Slope)
Ny masontsivana \( b \) dia kajiana amin'ny alalan'ny:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Fikajiana ny singa tsirairay:
\[
_(x_i – x})(y_i – y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
_total (x_i – _bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Amin'izay mba:
\[
b = 96}{40} = 2.4
\]
3. Fikajiana ny Paramètre \( a \) (Intercept)
Mampiasa ny salan'isa an'ny \( \bar{x} \) sy \( \bar{y} \):
\[
a = y – b x = 93 – 2.4 x 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Fanoratana ny Fitoviana Tsipika Fihemorana
Amin'ny alalan'ireo masontsivana hita dia afaka manoratra ny fitoviana amin'ny tsipika regression isika:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Fandikana sy Fanamarinana
Mba hahazoana antoka fa mifanaraka amin'ny tsipika fihemorana ity, dia afaka manao kajy ny sandan'ny y vinavinaina (\(\hat{y}\)) ho an'ny x tsirairay ao amin'ny angon-drakitra voalohany isika, ary koa manao kajy ny Sum of Squared Errors (SSE) mba hanamarinana ny fahamarinan'ny vinavina.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|—————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Raha toa ka kely ny SSE, dia afaka manatsoaka hevitra isika fa ny tsipika regression novokarin'ny fomba "least squares" dia mifanaraka tsara amin'ity angon-drakitra ity.
Famaranana
Ny fomba "Least Squares Method" dia fitaovana famakafakana statistika mahery vaika mba hamaritana ny tsipika mifanaraka indrindra amin'ny angon-drakitra iray, mampihena ny fahadisoana amin'ny vinavina mifototra amin'ny efamira amin'ny fivilian-dalana. Amin'ny fampiasana ny dingana fikajiana ny salan'isa, ny fanombanana ny tehezan-kavoana sy ny "intercept", ary ny fanoratana sy fanamarinana ny fampitoviana tsipika regression, dia afaka maminavina marina ny sandan'ny variable miankina amin'ny variables tsy miankina isika.
Tena ilaina tokoa ny fahatakarana tsara ity fomba ity amin'ny sehatra toy ny toekarena, biostatistika, injeniera, ary ny siansa sosialy izay ampiharana matetika ny famakafakana regression. Ity lahatsoratra ity, miaraka amin'ny ohatra mivaingana, dia mampiseho ny maha-zava-dehibe sy ny ilàna ity fomba fiasa ity amin'ny famakafakana angon-drakitra.
