Ohatra amin'ny fanontaniana momba ny firafitry ny fiovana amin'ny fampiasana matrices
Lohahevitra manan-danja amin'ny matematika ny fiovan'ny jeometrika, indrindra amin'ny jeometrika sy ny aljebra lineary. Ireo fiovana ireo dia mety ahitana ny translasiona, ny fihodinana, ny taratra ary ny dilatation. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia handinika ny fomba ahafahana maneho sy mamaha ny firafitry ny fiovana isan-karazany amin'ny alàlan'ny matrices isika. Hanome ohatra amin'ny olana sy vahaolana ihany koa izahay.
1. Fampidirana amin'ny Fiovana amin'ny fampiasana Matrices
Azo aseho amin'ny alalan'ny matrisy ny fiovana ara-jeometrika. Ohatra, ny fiovan'ny fihodinana, ny fandikana, ny taratra ary ny fanitarana dia azo amboarina amin'ny endrika matrisy toy izao manaraka izao:
1. Fandikana teny
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Fihodinana
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Fisaintsainana momba ny axe-X
\[
\text{Taratra X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Fivelarana (fitomboana/fitomboana)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Firafitry ny Fiovana amin'ny Matrices
Ny firafitry ny fiovana dia ny fampiharana mifanesy ny fiovana roa na maromaro amin'ny zavatra iray. Mba hikajiana ny firafitry ny fiovana amin'ny fampiasana matrices, dia ampitombointsika fotsiny ny matrices maneho ny fiovana.
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Soal
Raha omena ny teboka P(2, 3), tadiavo ny vokatry ny fiovana manaraka:
1. Fihodinana \(90^\circ\) manaraka ny fihodin'ny famantaranandro (CW)
2. Fivelarana miaraka amin'ny fatran'ny maridrefy 2
3. Fandikana ny (1, -2)
Discussion
1. Fihodinana \(90^\circ\) CW
Ny matrisin'ny fihodinana manaraka ny fihodin'ny famantaranandro amin'ny \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Fampiharana ny fiovan'ny fihodinana eo amin'ny teboka P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Ny teboka P aorian'ny fiovan'ny fihodinana dia P'(3, -2).
2. Fivelarana miaraka amin'ny fatran'ny maridrefy 2
Matrisy ho an'ny fanitarana miaraka amin'ny anton-javatra 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 sy 0 \\ 0 sy 2 \end{pmatrix}
\]
Fampiharana ny fiovan'ny fanitarana eo amin'ny teboka P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Ny teboka P' aorian'ny fiovan'ny fanitarana dia P”(6, -4).
3. Fandikana ny (1, -2)
Ireto manaraka ireto ny asa fandikana nomena:
\[
T(x, y) = x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Fampiharana ny fiovan'ny fandikan-teny eo amin'ny teboka P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = 6 + 1 -4 – 2 = 7 -6
\]
Koa, ny teboka farany rehefa ampiharina ny fiovana rehetra dia P(7, -6).
3. Fikajiana ny firafitry ny fiovana
Fanontaniana fanampiny
Omena ny teboka Q(1, 2) sy ity fiovana manaraka ity:
1. Fisaintsainana momba ny axe-X.
2. Fihodinana \(180^\circ\) manaraka ny fihodin'ny famantaranandro (CW).
Discussion
1. Fisaintsainana momba ny axe-X
Matrisin'ny taratra manodidina ny axe-X:
\[
1 sy 0 \\ 0 sy -1 \end{pmatrix}
\]
Fampiharana fiovan'ny taratra eo amin'ny teboka Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Ny teboka Q aorian'ny fiovan'ny taratra dia Q'(1, -2).
2. Fihodinana \(180^\circ\) CW
Matrisin'ny fihodinana \(180^\circ\) amin'ny fihodin'ny famantaranandro:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Fampiharana ny fiovan'ny fihodinana \(180^\circ\) amin'ny teboka Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Koa, ny teboka farany rehefa ampiharina ny fiovana rehetra dia Q(-1, 2).
Penutup
Tena ilaina tokoa ny fomba fanamboarana fiovana amin'ny fampiasana matrices mba hanatsorana sy hikajiana amin'ny fomba mirindra ny fiovana ara-jeometrika. Amin'ny fanarahana ireo dingana etsy ambony ireo, dia afaka mahatakatra sy mampihatra mora foana karazana fiovana isan-karazany amin'ny teboka tokana na zavatra jeometrika hafa isika. Ny fianarana mampiasa matrices amin'ny fiovana dia manamora ny fampiharana azy ireo amin'ny sehatra isan-karazany toy ny fizika, sary informatika, sy ny maro hafa.
