Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny firafitry ny asa sy ny asa mivadika
Ao amin'ny matematika, ny foto-kevitra momba ny firafitry ny asa sy ny firafitry ny inverse dia lohahevitra roa mifandray akaiky izay tena ilaina amin'ny fahatakarana mandroso toy ny kajy, ny famakafakana matematika ary ny teoria momba ny asa. Ity lahatsoratra ity dia handinika ireo foto-kevitra roa ireo amin'ny alàlan'ny fanomezana ohatra sy fifanakalozan-kevitra mora azo. Ny tanjona dia ny hanampy ny mpamaky hahatakatra ny fomba fiasan'ny firafitry ny asa sy ny inverse miasa amin'ny fomba azo ampiharina kokoa.
1. Firafitry ny Asa
Ny firafitry ny asa dia ny fampiarahana asa roa ho iray. Raha manana asa roa isika \( f(x) \) sy \( g(x) \), dia ny firafitry ny asa ireo dia \( (f \circ g)(x) \), izay vakiana hoe "f firafitry ny g an'ny x" na "f an'ny g an'ny x." Io firafitry ny asa io dia faritana ho fampiharana ny asa \( g(x) \) aloha, avy eo fampiharana ny asa \( f \) amin'ny vokatry ny \( g(x) \).
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1:
Raha omena ireo fiasa \( f(x) = 2x + 3 \) sy \( g(x) = x^2 – 1 \). Tadiavo ny firafitry ny \( (f \circ g)(x) \) sy \( (g \circ f)(x) \).
Dinika:
1. Fantaro ny \( (f \circ g)(x) \):
(f (circa g)(x) = f(g(x))
\( = f(x^2 – 1) \)
Soloy ny \( x^2 – 1 \) amin'ny \( f(x) \):
f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3
\( = 2x^2 – 2 + 3 \)
\( = 2x^2 + 1 \)
Koa, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).
2. Fantaro ny \( (g \circ f)(x) \):
(g)(x) = g(f(x))
\( = g(2x + 3) \)
Soloy ny \( 2x + 3 \) amin'ny \( g(x) \):
g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1
Ampiasao ny identité quadratique mba hikajiana \( (2x + 3)^2 \):
\( = 4x^2 + 12x + 9 – 1 \)
\( = 4x^2 + 12x + 8 \)
Koa, \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8 \).
2. Asa mivadika
Ny asa mivadika dia asa izay mamadika ny vokatry ny asa tany am-boalohany. Raha asa ny \( f \), dia ny mivadika amin'ny \( f \), izay soratana hoe \( f^{-1} \), dia asa izay mahafeno ny \( f(f^{-1}(x)) = x \) ary \( f^{-1}(f(x)) = x \).
Mba hahitana ny inverse function an'ny function iray dia mila manao izao manaraka izao isika:
1. Soloy amin'ny \( y \) ny \( f(x) \).
2. Vahao amin'ny alalan'ny \( y \) ny fitoviana ho an'ny \( x \).
3. Soloy ireo variables \( x \) sy \( y \).
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2:
Raha jerena ny asa \( f(x) = 3x – 4 \), tadiavo ny mifamadika amin'izany, izany hoe \( f^{-1}(x) \).
Dinika:
1. Soloy amin'ny \( y \ ny \( f(x) \):
\( y = 3x – 4 \).
2. Vahaolana ho an'ny \( x \) amin'ny alalan'ny \( y \):
\( y = 3x – 4 \)
Ampio 4 amin'ny lafiny roa amin'ny fampitoviana:
\( y + 4 = 3x \)
Zarao amin'ny 3 ny lafiny roa amin'ny fampitoviana:
\( x = \frac{y + 4}{3} \)
3. Soloy ireo variables \( x \) sy \( y \):
\( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \)
Koa, ny mifamadika amin'ny \( f(x) = 3x – 4 \) dia \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \).
3. Ohatra amin'ny fanontaniana misy fitambaran'ny firafitra sy ny mifamadika
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3:
Raha omena ireo asa \( f(x) = x^3 + 2 \) sy \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \). Porofoy fa ny \( g(x) \) dia ny mifamadika amin'ny \( f(x) \).
Dinika:
Mba hanaporofoana fa ny \( g(x) \) dia ny mifamadika amin'ny \( f(x) \), dia tsy maintsy asehontsika fa \( (f \circ g)(x) = x \) ary \( (g \circ f)(x) = x \).
1. Asehoy fa \( (f \circ g)(x) = x \):
(f (circa g)(x) = f(g(x))
Soloy \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) ao amin'ny \( f(x) \):
f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x – 2})
\( = (\sqrt[3]{x – 2})^3 + 2 \)
Satria \( (\sqrt[3]{x – 2})^3 = x – 2 \):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
2. Asehoy fa \( (g \circ f)(x) = x \):
(g)(x) = g(f(x))
Soloy \( f(x) = x^3 + 2 \) ao amin'ny \( g(x) \):
g(f(x)) = g(x^3 + 2)
\( = \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2} \)
\( = \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
Koa satria \( (f \circ g)(x) = x \) ary \( (g \circ f)(x) = x \), dia ny \( g(x) \) no mifamadika amin'ny \( f(x) \).
4. Fampiharana eo amin'ny fiainana andavanandro
Ohatra amin'ny Fanontaniana 4:
Mampiasa maodely matematika roa voalaza ao amin'ny asa \( f(T) = 5T + 40 \) sy \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) ny mpahay siansa iray, izay \( T \) ny mari-pana amin'ny Celsius ary \( P \) ny tsindry amin'ny Pascal. Fantaro raha mivadika amin'ny asa \( f \) ny asa \( g \).
Dinika:
Mba hanaporofoana fa ny \( g \) dia ny mifamadika amin'ny \( f \), dia tsy maintsy asehontsika fa \( (f \circ g)(P) = P \) ary \( (g \circ f)(T) = T \).
1. Asehoy fa \( (f \circ g)(P) = P \):
(f (circ g)(P) = f(g(P))
Soloy \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) ao amin'ny \( f(T) \):
\( f(g(P)) = f\left(\frac{P – 40}{5}\right) \)
\( = 5\left(\frac{P – 40}{5}\right) + 40 \)
\( = (P – 40) + 40 \)
\( = P \).
2. Asehoy fa \( (g \circ f)(T) = T \):
(g)(T) = g(f(T))
Soloy \( f(T) = 5T + 40 \) ny \( g(P) \):
g(f(T)) = g(5T + 40)
\( = \frac{(5T + 40) – 40}{5} \)
\( = \frac{5T}{5} \)
\( = T \).
Koa satria \( (f \circ g)(P) = P \) ary \( (g \circ f)(T) = T \), dia ny \( g \) no mifamadika amin'ny asa \( f \).
Famaranana
Tena ilaina amin'ny matematika ny foto-kevitra momba ny firafitry ny asa sy ny asa mivadika. Tsy vitan'ny hoe manampy antsika hahatakatra ny fifandraisana misy eo amin'ny asa roa izy ireo, fa manome fototra ho an'ny fampiharana azo ampiharina isan-karazany eo amin'ny tontolo tena izy, toy ny fizika sy ny injeniera. Amin'ny alalan'ny fandalinana ireo ohatra etsy ambony ireo, dia antenaina fa hahazo fahatakarana sy fampiharana tsara kokoa an'ireo hevitra roa ireo ny mpamaky.
