Ohatra amin'ny Fanontaniana sy Fifanakalozan-kevitra momba ny Integraly Voafaritra
Ny integral voafaritra dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, izay matetika ampiasaina hahitana ny velarana eo ambanin'ny fiolahana, hikajiana ny haben'ny zavatra sarotra, ary ho an'ny fampiharana maro hafa amin'ny injeniera sy fizika. Ny firesahana momba ny integral voafaritra dia tsy vitan'ny hoe manome fahatakarana fototra momba ity foto-kevitra ity fa manamafy ihany koa ny fahaizantsika mamakafaka matematika. Ity lahatsoratra ity dia mikendry ny hanome ohatra amin'ny olana integral voafaritra miaraka amin'ny fifanakalozan-kevitra amin'ny antsipiriany.
Hevitra fototra momba ny integral voafaritra
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo ohatra amin'ny olana, andeha hojerentsika ny foto-kevitra fototra momba ny integral voafaritra. Ny integral voafaritra, izay asehon'ny \(\int_a^bf(x) \, dx\), dia maneho ny velarana eo ambanin'ny fiolahana amin'ny asa \(f(x)\) manomboka amin'ny teboka \(x = a\) ka hatramin'ny teboka \(x = b\).
Ara-matematika, ny integral voafaritra manomboka amin'ny \(a\) ka hatramin'ny \(b\) an'ny asa \(f(x)\) dia azo aseho toy izao:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
izay ny \(F(x)\) no antiderivative an'ny \(f(x)\).
Fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra santionany
Andeha hojerentsika ny ohatra vitsivitsy amin'ny olana integral voafaritra sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo.
Ohatra amin'ny Fanontaniana 1
Fanontaniana:
Kajio ny integral voafaritra an'ny asa \(f(x) = 2x\) manomboka amin'ny \(x = 1\) ka hatramin'ny \(x = 3\).
Dinika:
Mba hamahana ity integral ity dia tadiavo aloha ny antiderivative an'ny \(f(x) = 2x\).
Ny antiderivative an'ny \(2x\) dia:
\[ F(x) = x^2 + C \]
Na izany aza, amin'ny integral voafaritra dia tsy mila ny tsy miovaovan'ny integration \(C\) isika.
Ankehitriny, ampiasao ny fetran'ny integral mba hikajiana:
\[ \int_1^3 2x \, dx = F(3) – F(1) \]
Kajio ny sandan'ny \(F(x)\) amin'ireto fetra ireto:
\[ F(3) = 3^2 = 9 \]
\[ F(1) = 1^2 = 1 \]
Noho izany,
\[ \int_1^3 2x \, dx = 9 – 1 = 8 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 2
Fanontaniana:
Kajy ny integral voafaritra an'ny asa \(f(x) = x^2 + 1\) manomboka amin'ny \(x = 0\) ka hatramin'ny \(x = 2\).
Dinika:
Tadiavo ny antiderivative an'ny \(f(x) = x^2 + 1\).
Ny antiderivative an'ny \(x^2\) dia:
\[ \frac{1}{3}x^3 \]
Ny antiderivative an'ny \(1\) dia \(x\).
Noho izany, ny antiderivative an'ny \(f(x)\) dia:
\[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x \]
Ankehitriny, ampiasao ny fetran'ny integral mba hikajiana:
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = F(2) – F(0) \]
Kajio ny sandan'ny \(F(x)\) amin'ireto fetra ireto:
\[ F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]
\[ F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0 \]
Noho izany,
\[ \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx = \frac{14}{3} – 0 = \frac{14}{3} \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 3
Fanontaniana:
Kajio ny integral voafaritra an'ny fonction \(f(x) = e^x\) manomboka amin'ny \(x = 1\) ka hatramin'ny \(x = 2\).
Dinika:
Tadiavo ny antiderivative an'ny \(f(x) = e^x\).
Ny antiderivative an'ny \(e^x\) dia \(e^x\).
Ankehitriny, ampiasao ny fetran'ny integral mba hikajiana:
\[ \int_1^2 e^x \, dx = F(2) – F(1) \]
Kajio ny sandan'ny \(F(x)\) amin'ireto fetra ireto:
\[ F(2) = e^2 \]
\[ F(1) = e^1 = e \]
Noho izany,
\[ \int_1^2 e^x \, dx = e^2 – e \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 4
Fanontaniana:
Kajio ny integral voafaritra an'ny fonction \(f(x) = \sin(x)\) manomboka amin'ny \(x = 0\) ka hatramin'ny \(x = \pi\).
Dinika:
Tadiavo ny antiderivative an'ny \(f(x) = \sin(x)\).
Ny antiderivative an'ny \(\sin(x)\) dia \(-\cos(x)\).
Ankehitriny, ampiasao ny fetran'ny integral mba hikajiana:
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = F(\pi) – F(0) \]
Kajio ny sandan'ny \(F(x)\) amin'ireto fetra ireto:
\[ F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \]
F(0) = -\cos(0) = -1
Noho izany,
\[ \int_0^\pi \sin(x) \, dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 \]
Ohatra amin'ny Fanontaniana 5
Fanontaniana:
Kajio ny integral voafaritra an'ny asa \(f(x) = \frac{1}{x}\) manomboka amin'ny \(x = 1\) ka hatramin'ny \(x = e\).
Dinika:
Tadiavo ny antiderivative an'ny \(f(x) = \frac{1}{x}\).
Ny antiderivative an'ny \(\frac{1}{x}\) dia \(\ln|x|\).
Ankehitriny, ampiasao ny fetran'ny integral mba hikajiana:
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) – F(1) \]
Kajio ny sandan'ny \(F(x)\) amin'ireto fetra ireto:
\[ F(e) = \ln(e) = 1 \]
\[ F(1) = \ln(1) = 0 \]
Noho izany,
\[ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 – 0 = 1 \]
Famaranana
Amin'ny alalan'ireo ohatra etsy ambony ireo, dia efa nampihatra ny fitadiavana integral voafaritra amin'ny asa fototra isan-karazany isika. Amin'ny dingana tsirairay, zava-dehibe ny mahita ny antiderivative aloha ary avy eo mampiasa ny fetran'ny integral mba hahitana ny sanda farany.
Mitana anjara toerana lehibe amin'ny sehatra fianarana sy fampiharana maro ny integra voafaritra. Ny fahatakarana io foto-kevitra io sy ny fampiharana amin'ny ohatra isan-karazany dia hanatanjaka be ny fahaizanao matematika.
