Ohatra amin'ny Fanontaniana Fifanakalozan-kevitra momba ny Fampiraisana Tsy Voafaritra
Ny integral tsy voafaritra dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, ampiasaina hahitana ny asa tany am-boalohany avy amin'ny asa azo avy amin'ny asa iray. Ny integral tsy voafaritra dia asehon'ny marika ∫ arahin'ny asa hampidirina sy ny fiovaovan'ny fampidirana. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka ohatra maromaro momba ny integral tsy voafaritra sy ny vahaolana amin'izy ireo isika.
Ohatra Fanontaniana 1: Integral an'ny asa polinômialy
Fanontaniana: Fantaro ny integral-n'ny asa \( f(x) = 3x^2 \).
Dinika: Mba hampidirana ny asa polinômialy, dia mampiasa ny fitsipika fototra momba ny fampidirana isika, dia ny:
\[ \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \]
Amin'ny fampiasana ireto fitsipika ireto, ny integral an'ny \( 3x^2 \) dia:
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{2+1} x^{2+1} \right) + C = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) + C = x^3 + C \]
Koa, \( \int 3x^2 \, dx = x^3 + C \).
Ohatra Fanontaniana 2: Fampiraisana ny Asa Exponential
Fanontaniana: Fantaro ny integral-n'ny asa \( f(x) = e^x \).
Dinika: Tsotra dia tsotra ny integral an'ny fonction exponential \( e^x \) satria ny fonction \( e^x \) dia fonction izay tsy miovaova mihitsy eo ambanin'ny differential sy integral operations:
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Koa, \( \int e^x \, dx = e^x + C \).
Ohatra Fanontaniana 3: Fampiraisana ny Asa Trigonometrika
Fanontaniana: Fantaro ny integral an'ny asa \( f(x) = \sin(x) \).
Dinika: Mba hampidirana ireo asa trigonometrika dia mila fantarina ny integraly fototra an'ireo asa ireo. Ny iray amin'ireo fifandraisana fototra dia:
\[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]
Koa, \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \).
Ohatra Fanontaniana 4: Fampiraisana ny Asa Ampahany
Fanontaniana: Fantaro ny integral-n'ny asa \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Dinika: Ny integral an'ny asa \( \frac{1}{x} \) dia:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| +C\]
Koa, \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \).
Ohatra Fanontaniana 5: Fampiraisana ny Asa Exponential Miiba
Fanontaniana: Fantaro ny integral-n'ny asa \( f(x) = x^{-2} \).
Dinika: Ho an'ny \( n \neq -1 \), mampiasa ny fitsipika fototra momba ny integral isika:
\[ \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \]
Amin'ity tranga ity, \( n = -2 \), ka:
\[ \int x^{-2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + C = \frac{1}{-1} x^{-1} + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \]
Koa, \( \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \).
Ohatra Fanontaniana 6: Fampiraisana ny Asa Fampiarahana
Fanontaniana: Fantaro ny integral-n'ny asa \( f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x – 5 \).
Dinika: Afaka mampiditra misaraka ny teny tsirairay isika amin'ny fampiasana ny fitsipika fototra momba ny fampidirana:
(4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) dx = 4x^3 dx – 3x^2 dx + 2x dx – 5 dx
Ankehitriny dia ampifandraisintsika tsirairay avy ny teny tsirairay:
\[ \int 4x^3 \, dx = 4 \int x^3 \, dx = 4 \left( \frac{1}{3+1} x^{3+1} \right) = 4 \left( \frac{1}{4} x^4 \right) = x^4 \]
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{2+1} x^{2+1} \right) = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) = x^3 \]
\[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \left( \frac{1}{1+1} x^{1+1} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = x^2 \]
\[ \int 5 \, dx = 5x \]
Raha ampiarahina ireo valiny ireo dia mahazo isika:
\[ \int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) \, dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C \]
Koa, \( \int (4x^3 – 3x^2 + 2x – 5) \, dx = x^4 – x^3 + x^2 – 5x + C \).
Famaranana
Hevitra tena manan-danja amin'ny kajy ny integral tsy voafaritra ary manana fitsipika isan-karazany izay manamora ny fampidirana karazana asa isan-karazany. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia niresaka ohatra maromaro momba ny integral tsy voafaritra isika, anisan'izany ny polinômialy, ny eksponensialy, ny asa trigonometrika, ny ampahany, ny asa misy eksponentaly ratsy, ary ny fitambaran'ny asa. Ny fahatakarana sy ny fifehezana ireo fitsipika fototra momba ny integral ireo dia tena hanampy amin'ny famahana olana isan-karazany amin'ny kajy.
Tsy vitan'ny hoe zava-dehibe amin'ny teôria matematika fotsiny ny integraly tsy voafaritra, fa manana fampiharana miely patrana amin'ny fizika, injeniera ary sehatra hafa ihany koa. Raha ampy ny fampiharana, dia ho mora kokoa sy ho mora azo kokoa ny fampidirana asa isan-karazany.
