Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny determinants sy ny matrix inverses
Ny "matrix determinants" sy ny "matrix inverses" dia foto-kevitra fototra roa amin'ny algebra linear izay manana fampiharana miely patrana amin'ny sehatra isan-karazany, anisan'izany ny matematika, fizika, toekarena ary injeniera. Ny fahatakarana lalina ireo foto-kevitra ireo dia tena ilaina amin'ny famahana olana matematika sarotra maro. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hiresaka ohatra amin'ny "matrix determinants" sy ny "inverses" isika, miaraka amin'ny fifanakalozan-kevitra feno.
Mpamaritra Matrisa
Ny determinant dia skalar mifandray amin'ny matrice efa-joro (matrice mitovy isa amin'ny andalana sy tsanganana). Ny determinant dia afaka manome fampahalalana manan-danja momba ny toetran'ny matrice, toy ny hoe azo avadika ve izy sa tsia.
Ohatra Fanontaniana 1: Famaritana ny Matrisy 2×2
Raha omena ny matrisy \( A \) toy izao manaraka izao:
\[
A = \begin{pmatrix}
4 sy 3 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Fantaro ny determinant an'ny matrice \( A \).
Dinika:
Ho an'ny matrisy 2 × 2, ny determinant dia azo kajy amin'ny fampiasana ity raikipohy tsotra ity:
\[
\text{det}(A) = ad – bc
\]
izay \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Fanoloana ireo singa ao amin'ny matrisy \( A \):
\[
(A) = (4 x 1) – (3 x 2) = 4 – 6 = -2
\]
Noho izany, ny determinant an'ny matrice \(A \) dia -2.
Ohatra Fanontaniana 2: Famaritana ny Matrisy 3×3
Raha omena ny matrisy \( B \) toy izao manaraka izao:
\[
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}
\]
Fantaro ny determinant an'ny matrice \( B \).
Dinika:
Ho an'ny matrisy 3×3, ny determinant dia azo kajy amin'ny fampiasana ny fitsipiky Sarrus na ny cofactors. Eto, hampiasa ny fitsipiky Sarrus isika mba hanatsorana ny kajy.
Avereno atao mitovy ireo tsanganana roa voalohany eo amin'ny ilany ankavanan'ny matrisy:
\[
\text{det}(B) = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{vmatrix}
= 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 – (3\cdot1\cdot5 + 2\cdot0\cdot0 + 1\cdot4\cdot6)
\]
\[
= 0 + 40 + 0 – (15 + 0 + 24)
\]
\[
= 40 – 39 = 1
\]
Noho izany, ny determinant an'ny matrice \(B \) dia 1.
Matrisy mivadika
Ny mifamadika amin'ny matrisy \( A \) (raha misy) dia matrisy \( A^{-1} \) izay mahafeno ireto fepetra manaraka ireto:
\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
\]
izay \(I \) no matrisin'ny maha-izy azy izay 1 ny singa diagonaly ary 0 ny singa hafa.
Ohatra Fanontaniana 3: Mifamadika amin'ny Matrisy 2×2
Raha omena ny matrisy \( C \) toy izao manaraka izao:
\[
C = \begin{pmatrix}
1 sy 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\]
Tadiavo ny mifamadika amin'ny matrisy \( C \).
Dinika:
Ho an'ny matrisy 2 × 2, ny inverse dia azo kajy amin'ny fampiasana ny raikipohy:
\[
C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c sy a
\end{pmatrix}
\]
izay \( C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Voalohany, kajintsika ny determinant an'ny matrice \( C \):
\[
\text{det}(C) = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2
\]
Avy eo, soloy amin'ny raikipohy mivadika:
\[
C^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix}
4 sy -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-2 sy 1
\frac{3}{2} sy -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
Koa, ny mifamadika amin'ny matrisa \( C \) dia \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \).
Ohatra Fanontaniana 4: Mifamadika amin'ny Matrisy 3×3
Raha omena ny matrisy \( D \) toy izao manaraka izao:
\[
D = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\]
Tadiavo ny mifamadika amin'ny matrisy \( D \).
Dinika:
Ho an'ny matrices 3×3 na n×n, ny fomba mahazatra ampiasaina dia ny fomba echelon na ny fomba adjoint. Eto, hampiasa ny fomba echelon isika.
Ny dingana voalohany dia ny mamorona ny matrisy augmented \( [D|I] \) izay \( I \) no matrisy identity:
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
Avy eo, manaova asa fototra amin'ny andalana mandra-pamorona ny matrisin'ny maha-izy azy eo ankavia:
1. Andalana faha-1: \( B_1 \div 2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
2. Andalana 2: \( B_2 – 3B_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 sy 0 sy -\frac{3}{2} sy -\frac{3}{2} sy 1 sy 0
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
3. Andalana faha-3: \( B_3 – B_1 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 sy 0 sy -\frac{3}{2} sy -\frac{3}{2} sy 1 sy 0
0 sy 4 sy \frac{3}{2} sy -\frac{1}{2} sy 0 sy 1
\end{array}\right]
\]
4. Andalana faha-3: \( B_3 \div 4 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 sy 0 sy -\frac{3}{2} sy -\frac{3}{2} sy 1 sy 0
0 sy 1 sy \frac{3}{8} sy -\frac{1}{8} sy 0 sy \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
5. Andalana 1: \( B_1 – \frac{1}{2}B_3 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 sy 0 sy -\frac{3}{2} sy -\frac{3}{2} sy 1 sy 0
0 sy 1 sy \frac{3}{8} sy -\frac{1}{8} sy 0 sy \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
6. Andalana 2: \( B_2 \div -\frac{3}{2} \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 sy 1 sy \frac{3}{8} sy -\frac{1}{8} sy 0 sy \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
7. Andalana faha-3: \( B_3 – \frac{3}{8} B_2 \)
\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 sy 1 sy 0 sy -\frac{1}{4} sy \frac{1}{6} sy \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Koa, ny mifamadika amin'ny matrisa \( D \) dia \( \begin{pmatrix} \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \).
Amin'ny fahatakarana ireo foto-kevitra sy ohatra mivaingana, dia hitantsika fa ny fikajiana ireo determinant sy inverse an'ny matrices dia azo atao amin'ny fampiasana fomba tsotra, nefa misy fiantraikany lehibe amin'ny famakafakana angon-drakitra sy ny famahana olana matematika sarotra kokoa. Tena ilaina amin'ny fampiharana isan-karazany io fahatakarana io, anisan'izany ny sary informatika, ny famakafakana angon-drakitra, ary ny rafitry ny equation linear.
