Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny fitsipiky ny rojo amin'ny teny avy ...
Ny fitsipika rojo dia iray amin'ireo foto-kevitra fototra indrindra amin'ny kajy diferensiala, ampiasaina hikajiana ny derivative amin'ny asa iray misy asa roa na mihoatra. Ato amin'ity lahatsoratra ity, dia hodinihintsika ny foto-kevitra fototra amin'ny fitsipika rojo, ny fomba fampiasana azy, ary ny ohatra amin'ny fampiasana azy amin'ny olana derivative izay matetika mipoitra any amin'ny lise sy ny oniversite.
1. Fampidirana ny Fitsipika momba ny Rojo
Alohan'ny hidirantsika amin'ny olana ohatra, andeha aloha hojerentsika ny atao hoe fitsipiky ny rojo. Ny fitsipiky ny rojo dia milaza fa raha manana asa roa azo differentiable isika \( f \) sy \( g \), ary te-hahita ny derivative an'ny firafitry ny asa \( h = f(g(x)) \), dia ny derivative an'ny \( h \) dia:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Raha lazaina amin'ny teny tsotra, kajiana ny derivative an'ny asa ivelany amin'ny g(x), avy eo ampitomboina amin'ny derivative an'ny asa anatiny ny valiny \( g(x) \).
2. Fahatakarana ny asan'ny firafitra
Alohan'ny hidirantsika amin'ireo ohatra olana ireo dia zava-dehibe ny mahatakatra ny fiasan'ny firafitra. Ny fiasan'ny firafitra dia fiasa azo avy amin'ny fampidirana fiasa iray ao anaty iray hafa. Ohatra, raha manana \( f(x) = \sin(x) \) sy \( g(x) = x^2 \ isika, dia ho \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) ny firafitry ny fiasa roa.
Ao amin'ny fiasan'ny firafitra, matetika isika mihevitra ny \( g(x) \) ho "asa anatiny" ary ny \( f(x) \) ho "asa ivelany". Amin'ity ohatra ity, ny asa anatiny dia \( x^2 \) ary ny asa ivelany dia sine.
3. Ohatra amin'ny Fanontaniana sy Fifanakalozan-kevitra
Andeha hojerentsika ny ohatra amin'ny olana izay mampiasa ny fitsipiky ny rojo mba hamahana azy ireo.
Ohatra 1:
Raha omena ny asa \( y = \cos(3x^2) \), tadiavo ny derivative voalohany an'ny y raha oharina amin'ny x.
Dinika:
Voalohany, fantarina ny fiasa anatiny sy ivelany. Eto, ny fiasa anatiny dia \( g(x) = 3x^2 \) ary ny fiasa ivelany dia \( f(g) = \cos(g) \).
Fantatsika:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Araka ny fitsipiky ny rojo, dia mahazo isika:
y' = f'(g(x)) g'(x) = -\sin(3x^2) 6x
Noho izany, ny derivative an'ny \(y = \cos(3x^2) \) dia:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
Ohatra 2:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Dinika:
Eto ny fiasa anatiny dia \( g(x) = 5x^3 + 2x \) ary ny fiasa ivelany dia \( f(g) = e^g \).
Fantatsika:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Araka ny fitsipiky ny rojo, dia mahazo isika:
h'(x) = f'(g(x)) g'(x) = e^{5x^3 + 2x} (15x^2 + 2)
Koa, ny derivative an'ny \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) dia:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Ohatra 3:
Tadiavo ny derivative voalohany amin'ny \( y = \ln(4x^2 – 5) \).
Dinika:
Ny fiasa anatiny dia \( g(x) = 4x^2 – 5 \) ary ny fiasa ivelany dia \( f(g) = \ln(g) \).
Fantatsika:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Araka ny fitsipiky ny rojo, dia mahazo isika:
y' = f'(g(x)) g'(x) = 1}{4x^2 – 5} 8x
Koa, ny derivative an'ny \( y = \ln(4x^2 – 5) \) dia:
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Ohatra 4:
Raha omena ny asa \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), tadiavo ny derivative-ny.
Dinika:
Ny fiasa anatiny dia \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) ary ny fiasa ivelany dia \( f(g) = g^4 \).
Fantatsika:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Araka ny fitsipiky ny rojo, dia mahazo isika:
y' = f'(g(x)) g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)
Koa, ny derivative an'ny \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) dia:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Tranga manokana sy ny fampandrosoana ny fitsipiky ny rojo
Indraindray, ny fitsipiky ny rojo dia tsy mijanona amin'ny firafitry ny asa roa fotsiny. Misy fotoana izay firafitry ny asa mihoatra ny roa ny asa iray, ohatra: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Ho an'ny tranga misy asa telo, azo ampiharina amin'ny sosona ny fitsipika rojo:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Hitantsika fa amin'ny sosona tsirairay, dia kajintsika ny avy amin'ny sosona ivelany alohan'ny hifindrana amin'ny avy amin'ny sosona anatiny.
Ohatra 5:
Raha omena \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), tadiavo ny derivative-ny.
Dinika:
Ny fiasa anatiny indrindra dia \( k = 2x^2 + 1 \), afovoany: \( g = \ln(k) \) ary ivelany: \( f = \sqrt{g} \).
Fantatsika:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Andeha isika hampihatra ny fitsipika rojo amin'ny sosona maromaro:
y' = f'(g(k(x))) g'(k(x)) k'(x) = 1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} ...
Koa ny derivative an'ny \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) dia:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Fehiny
Mitana anjara toerana lehibe amin'ny kajy diferensialina ny fitsipiky ny rojo, indrindra rehefa miatrika ny firafitry ny asa. Ny fahatakarana sy ny fifehezana ny fitsipiky ny rojo dia manome fototra matanjaka amin'ny fiatrehana olana sarotra kokoa amin'ny kajy. Ity lahatsoratra ity dia niresaka ohatra manan-danja maromaro mba hanomezana fahatakarana matanjaka momba ny fampiharana ny fitsipiky ny rojo amin'ny derivatives. Manantena izahay fa hanampy ny mpianatra ity fifanakalozan-kevitra ity ary azo ampiharina amin'ny toe-javatra matematika sarotra isan-karazany.
