Atšķirības starp vidējo, mediānu un režīmu aprakstošajā statistikā
Aprakstošajā statistikā viens no galvenajiem mērķiem ir apkopot datus, lai tos būtu vieglāk saprast. Lieli, daudzveidīgi un dažreiz "neskaidri" dati būs informatīvāki, ja tie tiks attēloti centrālās tendences mērījumu veidā. Trīs visbiežāk izmantotie centrālās tendences mērījumi ir vidējais rādītājs, mediāna un moda. Lai gan visu trīs mērķis ir parādīt datu kopas "reprezentatīvo vērtību", to darbības metodes, jutība pret novirzēm un atbilstošas lietošanas situācijas ievērojami atšķiras.
Šajā rakstā ir aplūkota vidējā lieluma, mediānas un režīma nozīme, aprēķināšanas metodes, priekšrocības un trūkumi, kā arī piemēri, lai jūs varētu izvēlēties vispiemērotāko mērījumu analizējamajiem datiem.
1. Vidējais (vidējais): definīcija un aprēķināšanas veids
Vidējais rādītājs ir visu datu vērtību summa, dalīta ar datu punktu skaitu. Bieži saukts par "vidējo rādītāju", vidējais rādītājs ir vispazīstamākais ikdienas dzīvē. Tas sniedz datu centra momentuzņēmumu, proporcionāli ņemot vērā visas vērtības.
Vidējā formula:
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
Informācija:
– \(\sum x_i\) = visu datu vērtību summa
– \(n\) = datu skaits
Konts:
Pieņemsim, ka piecu studentu eksāmenu rezultāti ir: 70, 75, 80, 85, 90
Vidējais = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) / 5 = 400 / 5 = 80
Vidējās priekšrocības
1. Izmantojiet visus datus tā, lai sniegtā informācija būtu pilnīga.
2. Viegli aprēķināms un plaši izmantots padziļinātā analīzē (piemēram, dispersijas, standartnovirzes noteikšanai).
3. Piemērots skaitliskiem datiem un relatīvi simetriskiem sadalījumiem.
Vidējais deficīts
1. Ļoti jutīgs pret novirzēm. Viena galēja vērtība var ievērojami atšķirt vidējo vērtību no vairuma datu.
2. Ne vienmēr atspoguļo “tipiskās vērtības”, ja datu sadalījums ir sašķiebts.
Anomālo efektu piemēri:
Ienākumu dati (miljonos rūpiju): 3, 3, 4, 4, 5, 50
Vidējais = (3+3+4+4+5+50)/6 = 69/6 = 11,5
Lai gan lielākā daļa ienākumu ir 3–5 miljonu diapazonā, vidējais rādītājs ir mazāk reprezentatīvs.
2. Mediāna (vidējā vērtība): definīcija un aprēķināšana
Mediāna ir vērtība pa vidu, kad dati tiek kārtoti no mazākā līdz lielākajam. Mediāna uzsver pozīciju, nevis kopējo lielumu, padarot to izturīgāku pret novirzēm.
Kā noteikt mediānu:
1. Sakārtojiet datus.
2. Ja datu skaits ir nepāra skaitlis, mediāna ir vērtība vidējā pozīcijā.
3. Ja datu skaits ir pāra skaitlis, mediāna ir divu vidējo vērtību vidējais rādītājs.
Piemērs (nepāra):
Dati: 2, 3, 5, 7, 9
Mediāna = vidējā vērtība = 5
Piemērs (pats):
Dati: 10, 20, 30, 40
Mediāna = (20 + 30) / 2 = 25
Vidējās priekšrocības
1. Izturīgs pret novirzēm un ekstremālām vērtībām.
2. Piemērots sagrozītiem datiem, piemēram, ienākumiem, mājokļu cenām vai gaidīšanas laikiem.
3. Var izmantot kārtas datiem (piemēram, apmierinātības vērtējumiem: ļoti apmierināts, apmierināts, neitrāls, neapmierināts).
Vidējie trūkumi
1. Aprēķinos neizmanto visas datu vērtības (vairāk “balstīts uz pozīciju”).
2. Mazāk piemērots sarežģītai matemātiskai analīzei, kurai nepieciešamas vidējās īpašības.
Ja atgriežamies pie ienākumu piemēra: 3, 3, 4, 4, 5, 50
Dati ir sakārtoti, 6 datu mediāna ir 3. un 4. vērtības vidējais rādītājs: (4 + 4) / 2 = 4
Šī mediāna daudz labāk atspoguļo vairākuma apstākļus.
3. Režīms (lielākā vērtība): definīcija un noteikšanas metodes
Režīms ir vērtība, kas datu kopā parādās visbiežāk. Dažos gadījumos datiem var būt:
– Viens režīms (unimodāls): visbiežāk parādās viena vērtība
– Divi režīmi (bimodāli): visbiežāk parādās divas vērtības
– Daudzi transporta veidi (multimodāls)
– Nav režīma: ja visas vērtības parādās ar vienādu frekvenci
Konts:
Dati: 2, 3, 3, 4, 5
Režīms = 3 (parādās visbiežāk)
Bimodāls piemērs:
Dati: 1, 2, 2, 3, 3, 4
Režīms = 2 un 3
Režīma priekšrocības
1. Vienīgais centrālās tendences mērs, ko var izmantot nomināliem datiem (piemēram, iecienītākā krāsa, visiecienītākais zīmols).
2. Viegli saprotams, jo uzreiz parāda dominējošāko kategoriju/vērtību.
3. Neietekmē novirzes tādā nozīmē, ka ekstremālās vērtības nemaina visbiežāk sastopamo vērtību biežumu.
Režīma trūkums
1. Dažreiz tas nav unikāls (var būt vairāk nekā viens) vai pat nepastāv.
2. Var būt mazāk stabils; nelielas izmaiņas datos var mainīt režīmu.
3. Matemātiski ne vienmēr attēlo datu “centru”.
4. Galvenās atšķirības starp vidējo vērtību, mediānu un režīmu
Rezumējot, atšķirības starp šiem trim ir redzamas aprēķina metodē, jutīgumā pret novirzēm un piemērotos datu tipos:
1. Vidējā vērtība izmanto visas vērtības, vislabāk piemērota simetriskiem skaitliskiem datiem, bet ir jutīga pret novirzēm.
2. Mediāna, kuras pamatā ir pozīcija, piemērota sašķiebtiem datiem, izturīgāka pret novirzēm.
3. Uz biežumu balstīts režīms, kas piemērots kategoriskajiem/nominālajiem datiem un dominējošākās vērtības skatīšanai.
Daudzās statistikas grāmatās pastāv vispārēja saistība starp trim sadalījumiem:
– Simetrisks sadalījums: vidējais ≈ mediāna ≈ režīms
– Sadalījums nobīdīts pa labi (nobīdīts pa labi): vidējais > mediāna > režīms
– Pa kreisi nošķelts sadalījums: vidējais rādītājs < mediāna < moda Tomēr šī ir tendence, nevis absolūts noteikums. 5. Kad lietot vidējo rādītāju, mediānu vai modu? Atbilstoša centrālās tendences mēra izvēle ir atkarīga no datu veida un analīzes mērķa. Izmantojiet vidējo rādītāju, ja: - Dati ir skaitliski (intervāls/attiecība). - Sadalījums ir relatīvi simetrisks. - Nav ekstremālu noviržu vai novirzes ir ņemtas vērā. - Jums ir nepieciešams pamats citiem statistiskiem aprēķiniem. Piemēra situācija: vidējie klases testa rezultāti ar taisnīgu rezultātu sadalījumu.
