Kā aprēķināt kvartiles, deciles un procentiles statistikas datos
Statistikā mums bieži ir jānosaka vērtības pozīcija datu kopā. Vienkārši aprēķināt vidējo vērtību vai mediānu nav pietiekami, jo šie mērījumi neapraksta datu sadalījumu un to, kā novērojums salīdzināms ar citiem. Šeit noder kvartiles, deciles un procentiles. Šie trīs ir pozicionālie mērījumi, kas sadala sakārtotus datus vienādās daļās. Šajā rakstā ir aplūkotas definīcijas, vispārīgās darbības un tas, kā aprēķināt kvartiles, deciles un procentiles gan atsevišķām, gan grupētām datu kopām.
Sākot no
1. Pamatkoncepcija: dati ir jāsakārto
Pirms kvartilu, decilu vai procentilu aprēķināšanas vissvarīgākais solis ir datu kārtošana no mazākā līdz lielākajam. Kad dati ir sakārtoti, mēs varam noteikt kvartilu, decilu vai procentilu atrašanās vietu, pamatojoties uz to indeksa pozīcijām.
Vispārīgi:
– Kvartiles sadala datus 4 daļās.
– Deciles sadala datus 10 daļās.
– Procentiles sadala datus 100 daļās.
Praksē kvartiles, deciles un procentiles parasti izmanto testa rezultātu, ienākumu datu, antropometrisko mērījumu (augums/svars) analīzei un snieguma novērtēšanai.
Sākot no
2. Kā aprēķināt kvartiles (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartiles atsevišķos datos (negrupētās)
Kvartiles sastāv no:
– Q1: apakšējā kvartile (25% datu ir zem tās)
– Q2: mediāna (50%)
– Q3: augšējā kvartile (75 %)
Vienu datu kvartiļu aprēķināšanas darbības:
1. Sakārtojiet datus.
2. Aprēķiniet kvartiles pozīciju, izmantojot pozīcijas formulu:
– Pozīcija Q1 = \((n+1)/4\)
– Pozīcija Q2 = \(2(n+1)/4\) vai \((n+1)/2\)
– Pozīcija Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ja pozīcija ir vesels skaitlis, ņemiet vērtību šajā pozīcijā. Ja pozīcija ir daļskaitlis, veiciet interpolāciju (ņemiet vērtību starp diviem tuvākajiem datu punktiem).
Ātrs piemērs:
Sakārtoti dati: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Pozīcija Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → atrodas starp 2. un 3. datiem.
Tātad Q1 ir starp 6 un 7. Interpolācija:
Q1 = 6 + 0,25(7 − 6) = 6,25.
Sākot no
B. Kvartiles grupētos datos (frekvences sadalījums)
Grupētiem datiem (piemēram, klašu intervāliem) kvartiles aprēķina, izmantojot šādu formulu:
\[
Q_k = L + (\frac{\frac{k}{4}n – F\right)}{f}) x c
\]
Informācija:
– \(Q_k\): ktā kvartile (k = 1,2,3)
– \(L\): kvartiles klases apakšējā mala
– \(n\): datu skaits (kopējais biežums)
– \(F\): kumulatīvā frekvence pirms kvartiļu klases
– \(f\): frekvence kvartiļu klasē
– \(c\): klases ilgums
Vispārīgi soļi:
1. Izveidojiet kumulatīvo frekvenci.
2. Nosakiet kvartiles atrašanās vietu: \(k/4 \reiz n\).
3. Atrodiet klasi, kurā ir šī pozīcija.
4. Ievadiet formulā.
Sākot no
3. Kā aprēķināt deciles (no D1 līdz D9)
Deciles sadala datus 10 daļās, lai:
– \(D_1\) norāda datu apakšējo 10% robežu,
– \(D_5\) ir vienāds ar mediānu,
– \(D_9\) norāda 90% datu ierobežojumu.
A. Deciles atsevišķos datos
Deciles pozīcijas formula:
\[
\text{Pozīcija } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
ar (k = 1,2,punkti,9).
Kad pozīcija ir iegūta, vērtības aprēķināšanas metode ir tāda pati kā kvartilei: ja tā ir vesela skaitļa, to ņem tieši, ja tā ir daļskaitļa, to interpolē.
Sākot no
B. Deciles grupētos datos
Grupētu datu deciļu formula:
\[
D_k = L + (\frac{\frac{k}{10}n – F\right)}{f}) x c
\]
Apraksts ir tāds pats kā kvartilei, tikai dalītājs ir 10.
Solis:
1. Aprēķiniet \(k/10 \reiz n\).
2. Nosakiet deciļu klasi, pamatojoties uz kumulatīvo biežumu.
3. Aizvietojiet formulā.
Deciles bieži izmanto ekonomiskajā analīzē, piemēram, sadalot cilvēku ienākumus 10 grupās (1. decils ir nabadzīgākais, bet 10. decils ir bagātākais).
Sākot no
4. Kā aprēķināt procentiles (no P1 līdz P99)
Procentiles ir detalizētākas, jo tās sadala datus 100 daļās. Vērtība P25 = Q1, P50 = mediāna un P75 = Q3. Tas nozīmē, ka kvartiles patiesībā ir procentīļu īpašs gadījums.
A. Procentiles no atsevišķiem datiem
Procentiles pozīcijas formula:
\[
\text{Pozīcija } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
ar (k = 1,2,punkti,99).
Procedūra ir tāda pati: kārtojiet datus, aprēķiniet pozīciju un pēc tam ņemiet vērtību vai interpolējiet.
Sākot no
B. Grupētu datu procentiles
Grupētu datu procentīļu formula:
\[
P_k = L + (\frac{\frac{k}{100}n – F\right)}{f}) x c
\]
Soļi ir identiski decilēm/kvartilēm:
1. Nosakiet pozīciju \(k/100 \reiz n\).
2. Atrodiet kumulatīvās frekvences procentīļu klasi.
3. Izmantojiet formulu.
Procentiles bieži izmanto akadēmiskajos un veselības novērtējumos. Piemēram, bērna augums 80. procentilē nozīmē, ka bērns ir garāks par 80% bērnu viņa vecumā.
Sākot no
5. Svarīgi padomi un bieži pieļautas kļūdas
1. Dati ir jāšķiro (īpaši atsevišķi dati). Bez šķirošanas kvartiles/deciles/procentiles ir bezjēdzīgas.
2. Ja izmantojat nepārtrauktus jēdzienus, noteikti izmantojiet klases malas grupētiem datiem (nevis klases robežas).
3. Kumulatīvajai frekvencei ir jābūt pareizai, jo kvartiles/deciles/procentiles klase tiek noteikta no kumulatīvās frekvenču vērtības.
4. Pievērsiet uzmanību klases garumam (c). Klases garums nedrīkst būt nepareizs, jo tas ietekmē aprēķinu rezultātus.
5. Interpolācija ir svarīga, ja pozīcijas nav noapaļotas. Daudzi studenti pozīcijas noapaļo nekavējoties, lai gan tas var samazināt precizitāti.
Sākot no
6. Penutups
Kvartiles, deciles un procentiles ir svarīgi statistikas rīki datu sadalījuma izpratnei. Kvartiles ir piemērotas vienkāršiem kopsavilkumiem (piemēram, lodziņu diagrammā), deciles ir noderīgas detalizētākām grupējumiem, piemēram, ienākumu analīzei, savukārt procentiles palīdz novērtēt ļoti konkrētas personas pozīciju populācijā. Izprotot pamata darbības — datu sakārtošanu, pozīcijas noteikšanu un atbilstošu formulu izmantošanu atsevišķiem vai grupētiem datiem —, jūs varat aprēķināt kvartiles, deciles un procentiles ar lielāku precizitāti un pārliecību.
Ja vēlaties, varu pievienot pilnīgu grupētas datu tabulas piemēru (intervāls, biežums, kumulatīvā biežums) un pēc tam detalizēti aprēķināt Q1, D7 un P85, lai būtu vieglāk praktizēties.
