Stīgas garuma, stīgas masas, frekvences un stīgas sprieguma formulas
Pengantar
Stīgas ir būtiska daudzu mūzikas instrumentu sastāvdaļa, sākot no ģitārām līdz vijolēm. Stīgas garumam, masai, frekvencei un spriegumam ir izšķiroša nozīme tās radītās skaņas augstuma un kvalitātes noteikšanā. Šajā rakstā mēs apspriedīsim, kā šie parametri ir saistīti viens ar otru, izmantojot fiziku, un kā tie tiek piemēroti praksē, jo īpaši mūzikas instrumentu kontekstā.
Stīgas garums
Stīgas garums (\(L\)) ir attālums starp diviem punktiem, kur stīga ir piestiprināta vai turēta. Mūzikas instrumentos šo garumu parasti mēra no punkta, kur stīga sāk vibrēt, līdz punktam, kur tā pārstāj vibrēt.
Stīgas garums ietekmē tās pamatfrekvenci. Kopumā, jo garāka stīga, jo zemāku frekvenci tā rada. Stīgas garuma un frekvences savstarpējo saistību var redzēt stīgas stāvviļņa pamatvienādojumā:
\[f = \frac{n}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Kur:
– ∫(f) ir frekvence (Hz),
– \(n \) ir harmonikas skaitlis (1 pamatfrekvencei, 2 otrajai harmonikai utt.),
– \(L \) ir auklas garums (metros),
– \(T \) ir stīgas spriegums (ņūtonos),
– \( \mu \) ir auklas masa uz garuma vienību (kg/m).
Stīgu masa
Attīstības masa (\(m\)) ir stīgas kopējā masa. Masa uz garuma vienību (\(\mu\)) ir stīgas masa uz vienu stīgas garuma metru, un to izsaka kā:
[mu = \frac{m}{L}]
Kur:
– \(m \) ir auklas kopējā masa (kg),
– \(L \) ir auklas garums (metros).
Šī masa uz garuma vienību ir izšķiroša, lai noteiktu stīgas vibrācijas frekvenci. Jo lielāka \(\mu\), jo zemāku frekvenci rada stīga. Tas ir tāpēc, ka smagākām stīgām ir nepieciešams vairāk enerģijas, lai vibrētu noteiktā frekvencē.
Stīgu frekvence
Frekvence (\(f\)) ir vibrāciju skaits sekundē, ko rada stīga. Vibrējošas stīgas pamatfrekvence (\(f_1\)) ir zemākā frekvence, un to var aprēķināt, izmantojot formulu:
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Harmonisko frekvenci var aprēķināt arī, izmantojot šo formulu, vienādojumā ievietojot harmonisko skaitli \(n\):
\[f_n = \frac{n}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
Kur:
– \(f_n \) ir n-tās harmonikas frekvence (Hz),
– \(n \) ir harmonisks skaitlis.
Stīgu spriegums
Spriegums (\(T\)) ir spēks, kas pielikts stīgai, lai to nospriegotu. Šo spriegumu mēra ņūtonos (N), un tas ir svarīgs faktors, kas nosaka stīgas vibrācijas frekvenci.
Ja stīgas spriegums palielinās, palielināsies arī vibrācijas frekvence. Šo attiecību var izskaidrot, izmantojot iepriekš minēto pamata frekvences formulu:
\[f = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
No šīs formulas var redzēt, ka frekvence ir tieši proporcionāla sprieguma kvadrātsaknei. Tas nozīmē, ka, ja spriegums tiek dubultots, frekvence palielināsies par kvadrātsaknes koeficientu divi.
Aprēķina piemērs
Apskatīsim dažus aprēķinu piemērus, lai labāk izprastu saistību starp stīgas garumu, masu, frekvenci un spriegojumu.
1. piemērs: virknes frekvences noteikšana
Pieņemsim, ka mums ir aukla ar garumu 1 metrs, kopējo masu 0.01 kg un spriegumu 100 N. Mēs vēlamies noteikt šīs stīgas pamatfrekvenci.
1. Aprēķiniet masu uz garuma vienību:
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.01}{1} = 0.01 \, \text{kg/m} \]
2. Izmantojiet pamata frekvences formulu:
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[f_1 = \frac{1}{2 \reiz 1} \sqrt{\frac{100}{0.01}} \]
\[f_1 = \frac{1}{2} \qrt{10000} \]
\[f_1 = \frac{1}{2} \reiz 100 \]
\[f_1 = 50 \, \text{Hz} \]
Tātad šīs stīgas pamatfrekvence ir 50 Hz.
2. piemērs: Nepieciešamā sprieguma noteikšana
Pieņemsim, ka mēs vēlamies noteikt spriegojumu, kas nepieciešams stīgai ar garumu 0.5 metri un kopējo masu 0.02 kg, lai radītu pamatfrekvenci 440 Hz (notis A standarta frekvence).
1. Aprēķiniet masu uz garuma vienību:
\[ \mu = \frac{m}{L} = \frac{0.02}{0.5} = 0.04 \, \text{kg/m} \]
2. Izmantojiet pamata frekvences formulu un atrisiniet \(T\):
\[f_1 = \frac{1}{2L} \qrt{\frac{T}{\mu}} \]
\[440 = \frac{1}{2 \x 0.5} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \frac{1}{1} \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440 = \sqrt{\frac{T}{0.04}} \]
\[440^2 = \frac{T}{0.04} \]
\[193600 = \frac{T}{0.04} \]
\[T = 193600 \reiz 0.04 \]
\[T = 7744 \, \text{N} \]
Tātad spriegums, kas nepieciešams, lai radītu 440 Hz pamatfrekvenci, ir 7744 N.
Praktiski pielietojumi
1. Alat Music
Stīgas tiek izmantotas dažādos mūzikas instrumentos, tostarp ģitārās, vijolēs un klavierēs. Izpratne par stīgu garuma, masas, frekvences un spriegojuma savstarpējo saistību ir būtiska, lai pareizi noskaņotu instrumentu un iegūtu vēlamo toni.
2. Tehnoloģija
Stīgas tiek izmantotas arī mūsdienu tehnoloģijās, piemēram, sensoros un mērierīcēs. Piemēram, tenzometrs izmanto auklas sprieguma izmaiņas, lai mērītu materiāla deformāciju un spriegumu.
3. Pētniecība un izglītība
Fizikas izglītībā un pētniecībā eksperimenti ar stīgām tiek izmantoti, lai pētītu viļņus un vibrācijas. Tas palīdz skolēniem izprast viļņu fizikas un akustikas pamatjēdzienus.
Secinājums
Izpratne par formulām un attiecībām starp stīgu garumu, masu, frekvenci un spriegojumu ir ļoti svarīga daudzās jomās, īpaši mūzikā un tehnoloģijās. Izmantojot fundamentālās fizikas formulas, mēs varam aprēķināt un paredzēt stīgu uzvedību dažādos apstākļos, kas palīdz mums plašā praktisko pielietojumu klāstā, sākot no mūzikas instrumentu skaņošanas līdz precīziem mērījumiem mūsdienu tehnoloģijās.
