Torričelli teorēma – problēmas un risinājumi

Torričelli teorēma – problēmas un risinājumi

1. Caurule ar 100 cm augstumu, kas piepildīta ar ūdeni. Caurums Q atrodas 10 cm augstumā virs zemes. Kāds ir horizontālais attālums (x)?

Zināms:

Attālums starp bedri un ūdens virsmu (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Paātrinājums gravitācijas dēļ (g) = 10 m/s²

Vēlējās: Attālums x

šķīdums:

Ūdens plūsmas ātrums caurumā

v= ātrums, g = paātrinājums gravitācijas dēļ, h = attālums starp caurumu un ūdens virsmu

Ūdens plūsmas ātrums caur caurumu:

Laiks gaisā

Ūdens kustība no bedres uz zemi ir šāviņa kustībaŠāviņa kustību var izprast, atsevišķi analizējot kustības horizontālo un vertikālo komponenti. X kustība notiek ar nemainīgu ātrumu, un y kustība notiek ar nemainīgu brīvās krišanas paātrinājumu.

Šajā problēmā vertikāla kustība analizēta kā brīvā kritiena kustība.

Aprēķiniet laiku gaisā, izmantojot vienādojumu brīvā kritiena kustība.

Zināms:

Cauruma augstums (y) = 10 cm = 0.1 m

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/s²

Meklē: Laika intervāls (t)

šķīdums:

y = 1/2 t²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekundes

Horizontālais attālums (x):

Zināms:

Sākotnējais ātrums (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Laiks gaisā (t) = √0.02 sekundes

Meklē: Horizontālais attālums (x)

šķīdums:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metri

2. Ūdens tvertne 1 metra augstumā. Punktā P ir caurums. Kāds ir ūdens plūsmas ātrums caurumā? Brīvās krišanas paātrinājums ir 10 m/s.².

Zināms:

Attālums starp bedri un ūdens virsmu (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/s²

Vēlējās: Ūdens plūsmas ātrums caurumā (v)

šķīdums:

Ūdens plūsmas ātrums caur caurumu:

3. Lielse-vanna satur ūdeni un tur ir krāns, kā parādīts attēlā zemāk. Ja g = 10 ms^-2, tad ūdens ātrums no krāna ir…

Zināms:

Augstums (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metri

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/s²

Vēlējās: Ūdens ātrums (v)

šķīdums:

TOričelli teorēma apgalvo, ka ūdens ātrums caur caurumu, kas atrodas attālumā h no ūdens virsmas, ir vienāds ar ātrums Brīvais kritiensING ūdens no h augstuma.

Ūdens ātrumu aprēķina, izmantojot brīvās krišanas kustības formulua v_t² = 2 g/km

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A kubls piepildīts ar ūdeni, un sienā ir caurums (skat. attēls zemāk). Ūdens iztecēšanas ātrums no bedres ir… (g = 10 ms^-2)

Zināms:

Augstums (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metri

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/s²

Meklē: Sūdens ātrums (V)

šķīdums:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Tvertne, kurā atrodas ūdens 1 metra augstumā (g = 10 ms^-2) un uz sienas ir noplūdes caurums (skat. attēls zemāk). Ūdens iztecēšanas ātrums no bedres ir...

Zināms:

Augstums (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metri

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/s²

Meklē: Sūdens ātrums (V)

šķīdums:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Ko apraksta Torričelli teorēma?
   • Atbilde: Torričelli teorēma saista no atveres plūstošā šķidruma ātrumu ar šķidruma staba augstumu virs atveres, pieņemot, ka plūsma ir vienmērīga, neviskoza (bez viskozitātes) un nesaspiežama.
2. Kā matemātiski tiek izteikta Torričelli teorēma?
   • Atbilde: Teorēma ir izteikta kā v=√2gh​, Kur $v$ ir izplūdes ātrums, $g$ ir gravitācijas paātrinājums, un $h$ ir šķidruma kolonnas augstums virs atveres.
3. Pēc kādiem pieņēmumiem tika atvasināta Torričelli teorēma?
   • Atbilde: Teorēma pieņem, ka šķidrums ir nesaspiežams un neviskozs, plūsma ir vienmērīga un šķidrumam netiek pievienota vai atņemta papildu enerģija.
4. Ja traukā ir divi caurumi dažādos dziļumos, kā salīdzināmi būs no caurumiem izplūstošo šķidrumu ātrumi?
   • Atbilde: Šķidrumam, kas izplūst no urbuma, kas atrodas tuvāk pamatnei, būs lielāks ātrums nekā šķidrumam no urbuma, kas atrodas tuvāk pamatnei. Tas ir tāpēc, ka spiediens (un līdz ar to arī potenciālā enerģija) ir lielāks lielākā dziļumā.
5. Kāpēc izplūdes ātrums nav atkarīgs no trauka formas vai šķērsgriezuma laukuma?
   • Atbilde: Torričelli teorēma ņem vērā tikai potenciālo enerģiju, kas rodas šķidruma staba augstuma virs atveres dēļ. Tvertnes forma nemaina šo augstumu, tāpēc izplūdes ātrums paliek nemainīgs.
6. Kā faktiskais šķidruma, kas plūst no atveres, ātrums atšķiras no Torričelli teorēmas prognozes reālās situācijās?
   • Atbilde: Reālās situācijās tādi faktori kā šķidruma viskozitāte, turbulence un atveres forma var ietekmēt faktisko ātrumu, bieži vien padarot to mazāku par Torricelli teorēmas prognozēto.
7. Kāda ir saistība starp Torričelli teorēmu un enerģijas nezūdamības likumu?
   • Atbilde: Torričelli teorēma ir atvasināta no mehāniskās enerģijas nezūdamības likuma. Tā pielīdzina potenciālo enerģiju uz šķidruma virsmas kinētiskajai enerģijai pie atveres.
8. Ja ar šķidrumu pildīta trauka pašā augšpusē ir atvere, kā Toričelli teorēma apraksta izplūdes ātrumu?
   • Atbilde: Augstums $h$ virs atveres būtu nulle, tāpēc saskaņā ar Toričelli teorēmu izplūdes ātrums būtu nulle.
9. Kā atmosfēras spiediena klātbūtne ietekmē Torričelli teorēmas prognozes?
   • Atbilde: Torričelli teorēma pieņem, ka trauks ir atvērts atmosfērai, un tādējādi atmosfēras spiediens vienādi iedarbojas uz šķidruma virsmu. Šis spiediens tiek atcelts, ņemot vērā spiediena starpību visā šķidruma augstumā, tāpēc teorēma paliek spēkā.
10. Kā mainās izplūdes ātrums, samazinoties šķidruma līmenim traukā?

• Atbilde: Šķidruma līmenim samazinoties, augstums $h$ virs atveres samazinās. Saskaņā ar Torričelli teorēmu, izplūdes ātrums samazinātos, ja v=√2gh​.

Šie jautājumi un atbildes pēta Torričelli teorēmas pamatus, sekas un pielietojumu šķidrumu dinamikā.