Rotācijas kustība – problēmas un risinājumi

Rotācijas kustība – problēmas un risinājumi

Griezes moments

1. 140 cm gara sija. Uz siju iedarbojas trīs spēki: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N un F3 ₌ 40 N, kuru virziens un pozīcija ir parādīta attēlā zemāk. Kāds griezes moments liek sijai rotēt ap sijas masas centru?

Zināms:

Masas centrs atrodas sijas centrā.

Sijas garums (l) = 140 cm = 1.4 metri

Spēks 1 (F1 ₎ = 20 N, sviras plecs 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metri

Spēks 2 (F2 ₎ = 10 N, sviras plecs 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metri

Spēks 3 (F3 ₎ = 40 N, sviras plecs 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metri

Vēlams: griezes momenta lielums

šķīdums:

Griezes moments 1 griež staru pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc griezes momentam 1 tiek piešķirta negatīva zīme.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Griezes moments 2 pagriež staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tādējādi piešķirot griezes momentam 2 pozitīvu zīmi.

τ² = _{F²l² = ( 10⁻⁸N} )(0.3⁻¹) = _3⁻¹⁸Nm

Griezes moments 3 griež staru pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc griezes momentam 3 tiek piešķirta pozitīva zīme.

τ³ ₌ F³l³ = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Neto griezes moments:

Στ = -14 Nm + 3 Nm - 28 Nm = - 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Griezes momenta lielums ir 39 N m. Sijas griešanās virziens ir pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc tam tiek piešķirta negatīva zīme.

2. Kāds ir neto griezes moments, kas iedarbojas uz siju? Rotācijas ass punktā D. (sin 53 ^℃ = 0.8)

Zināms:

Rotācijas ass D punktā

F ₁ = 10 N un l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm) (sin 53 ^o ) = (0.4 m) (0.8) = 0.32 metri

F ₂ = 10√2 N un l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm) (sin 45 ^o ) = (0.2 m) (0.5√2) = 0.1√2 metri

F ₃ = 20 N un l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm) (sin 90 ^o ) = (0.1 m) (1) = 0.1 metrs

Vēlams: Neto griezes moments

šķīdums:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Griezes moments 1 griež staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tāpēc griezes momentam 1 piešķiram pozitīvu zīmi)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N) (0.1√2 m) = -2 Nm

(Griezes moments 2 griež staru pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc griezes momentam 2 piešķiram negatīvu zīmi)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Griezes moments 3 griež staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tāpēc griezes momentam 3 piešķiram pozitīvu zīmi)

Neto griezes moments:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Kāds ir neto griezes moments, ja rotācijas ass punktā D. (sin 53 ^℃ = 0.8)

Zināms:

Rotācijas ass D punktā.

Attālums starp F1 _un rotācijas asi (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Attālums starp F2 _un rotācijas asi (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Attālums starp F3 _un rotācijas asi (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ ņūtoni

F2 = 10√2 _ņūtons

F3 = ₂₀ ņūtoni

Sin 53 ^o = 0.8

Vēlams: Neto griezes moments

šķīdums:

Spēka moments 1

Στ ₁ = (F ₁ ) (r _AD sin 53 ^o ) = (10 N) (0.4 m) (0.8) = 3.2 Nm

(Griezes moments 1 griež staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tāpēc griezes momentam 1 piešķiram pozitīvu zīmi)

Spēka moments 2

Στ ₂ = (F ₂ ) (r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N) (0.2 m) (0.5√2) = -2 Nm

(Griezes moments 2 griež staru pulksteņrādītāja virzienā, tāpēc griezes momentam 2 piešķiram negatīvu zīmi)

Spēka moments 3

Στ ₃ = (F ₃ ) (r _CD sin 90 ^o ) = (20 N) (0.1 m) (1) = 2 Nm

(Griezes moments 2 griež staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tāpēc griezes momentam 3 piešķiram pozitīvu zīmi)

Neto griezes moments:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 ņūtonmetri

Inerces moments

4. Vada garums = 12 m, l1 ₌ 4 m. Neņemiet vērā vada masu. Kāds ir sistēmas inerces moments ?

Zināms:

A masa (m _A ) = 0.2 kg

B masa (m²/ _{2 B} ) = 0.6 kg

Attālums starp A un rotācijas asi (r _A ) = 4 metri

Attālums starp B un rotācijas asi (rB ₎ = 12 – 4 = 8 metri

Vēlams: sistēmas inerces moments

šķīdums:

A inerces moments

I _A = (m _A ) (r _A ² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 kg m ²

B inerces moments

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Sistēmas inerces moments:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotācijas dinamika

5. Ap skriemeli ar masu M = 5 kg un rādiusu R = 20 cm aptītai auklai tiek pielikts 6 N spēks. Kāds ir skriemeļa leņķiskais paātrinājums? Skriemelis ir vienmērīgs ciets cilindrs.

Zināms:

Spēks (F) = 6 ņūtoni

Masa (M) = 5 kg

Rādiuss (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Vēlamais: leņķiskais paātrinājums (α)

šķīdums:

Spēka moments:

τ = FR = (6 ņūtoni) (0.2 metri) = 1.2 N m

Cieta cilindra inerces moments:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Leņķiskais paātrinājums:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Bloks, kura masa ir 4 kg, karājas pie auklas, kas aptīta ap skriemeli, kura masa ir 8 kg un rādiuss R = 10 cm. Brīvās krišanas paātrinājums ir 10 ms ^-2 . Kāds ir bloka lineārais paātrinājums? Skriemelis ir vienmērīgs ciets cilindrs.

Zināms:

Skriemeļa masa (m) = 8 kg

Skriemeļa rādiuss (r) = 10 cm = 0.1 m

Bloka masa (m) = 4 kg

Brīvās krišanas paātrinājums (g) = 10 m/ ^s²

Svars (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 ņūtoni

Meklē: bloka brīvā kritiena paātrinājumu

šķīdums:

Cieta cilindra inerces moments:

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ^² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Spēka moments:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Leņķiskais paātrinājums:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Lineārais paātrinājums:

a = r α = (0.1) (100) = 10 m/s ²

7. Bloks ar masu m karājas pie auklas, kas aptīta ap skriemeli. Ja bloka brīvās krišanas paātrinājums ir am/ ^s² , kāds ir skriemeļa inerces moments?

Zināms:

svars = w = mg

Sviras roka = R

Leņķiskais paātrinājums = α

Bloka brīvā kritiena paātrinājums = a ms ^-2

Vēlams: skriemeļa inerces moments (I)

šķīdums:

Lineārā paātrinājuma un leņķiskā paātrinājuma saistība:

a = Rα

α = a / R

Inerces moments:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ Ra ^-1

Leņķiskais moments

8. 0.2 gramu daļiņa pārvietojas pa apli ar nemainīgu ātrumu 10 m/s. Apļa rādiuss ir 3 cm. Kāds ir daļiņas leņķiskais moments?

Zināms:

Daļiņas masa (m) = 0.2 grami = 2 x ^10⁻⁴ kg

Leņķiskais ātrums (ω) = 10 rad s ^-1

Rādiuss (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metri

Vēlams: daļiņas leņķiskais moments

šķīdums:

Leņķiskā momenta vienādojums:

L = Iω

I = leņķiskais moments, I = inerces moments, ω = leņķiskais ātrums

Inerces moments (daļiņām):

I = mr2 ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁸

Leņķiskais moments:

L = I ω = (18 x ^{10⁻⁸ )} (10 rad ^s⁻¹ ) = 18 x ^10⁻⁸ kg ^m² s⁻¹

1. Kas ir rotācijas kustība?
   • atbildeRotācijas kustība attiecas uz objekta kustību ap fiksētu asi. Tā ir tāda veida kustība, kurā katrs objekta punkts pārvietojas pa apli ap asi.
2. Kā lineārais ātrums ir saistīts ar leņķisko ātrumu rotācijas kustībā?
   • atbildeLineārais ātrums ($v$) rotējoša objekta punkta attālums ir tieši proporcionāls tā attālumam ($r$) no rotācijas ass un leņķiskā ātruma ($\omega$) objekta. Attiecību nosaka $v=r\cdot \omega$.
3. Kas ir inerces moments un kā tas ir saistīts ar rotācijas kustību?
   • atbildeInerces moments ir masas rotācijas analogs lineārā kustībā. Tas mēra objekta pretestību izmaiņām tā rotācijas stāvoklī. Inerces moments ir atkarīgs gan no objekta masas, gan no tā sadalījuma attiecībā pret rotācijas asi.
4. Kā Ņūtona pirmais kustības likums attiecas uz rotācijas kustību?
   • atbildeTāpat kā lineārā kustībā esošs objekts paliek kustībā, ja vien uz to neiedarbojas ārējs spēks, arī rotācijas kustībā esošs objekts paliks šajā stāvoklī, ja vien uz to neiedarbojas ārējs griezes moments.
5. Kāda ir girācijas rādiusa nozīme?
   • atbildeGirācijas rādiuss sniedz objekta masas sadalījuma mērījumu prom no tā rotācijas ass. Tas būtībā apraksta, cik tālu no ass visai objekta masai būtu jābūt koncentrētai, lai tai būtu tāds pats inerces moments kā sākotnējam sadalījumam.
6. Kas ir leņķiskais moments un kā tas tiek saglabāts?
   • atbildeLeņķiskais moments ir lineārā momenta rotācijas ekvivalents. Tas ir objekta inerces momenta un tā leņķiskā ātruma reizinājums. Slēgtā sistēmā kopējais leņķiskais moments paliek nemainīgs, ja vien to neiedarbojas ārējs griezes moments, kas uzsver leņķiskā momenta nezūdamības likumu.
7. Kā griezes moments ietekmē rotācijas kustību?
   • atbildeGriezes moments ir spēka rotācijas ekvivalents. Tas izraisa izmaiņas objekta rotācijas kustībā. Attiecību nosaka Ņūtona otrais rotācijas likums: $\tau =I\cdot \alpha$, Kur $\tau$ ir griezes moments, $I$ ir inerces moments, un $\alpha$ ir leņķiskais paātrinājums.
8. Kā masas centrs atšķiras no rotācijas centra?
   • atbildeLai gan tie var sakrist, masas centrs ir punkts, kurā var pieņemt, ka visa objekta masa ir koncentrēta lineāras kustības aprēķinu vajadzībām, savukārt rotācijas centrs ir punkts (vai ass), ap kuru objekts rotē.
9. Kāda ir centripetālā spēka loma rotācijas kustībā?
   • atbildeCentripetālais spēks ir neto spēks, kas iedarbojas uz objektu, kas pārvietojas pa apļveida trajektoriju, kas vērsta uz rotācijas centru. Tas ir atbildīgs par objekta noturēšanu tā izliektajā trajektorijā un neļauj tam kustēties taisni inerces dēļ.

10. Kā rotācijas kinētiskā enerģija ir saistīta ar inerces momentu un leņķisko ātrumu?

    • atbildeRotācijas kinētiskā enerģija ir enerģija, kas rodas, objektam rotējot ap asi. To apraksta formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Kur $I$ ir inerces moments un $\omega$ ir leņķiskais ātrums.