Raksts par nepārtrauktības vienādojumu
Centieties lēnām atvērt ūdens krānu, vienlaikus pievēršot uzmanību ūdens ātrumam, kas plūst no krāna atveres. Tagad salīdziniet, kur ūdens plūsmas ātrums ir lielāks — kad krāna atvere ir aizvērta, vai nē? Kāpēc tā? Lai to saprastu, lūdzu, izpētiet nepārtrauktības vienādojumu.
racionalizēt
Pastāvīgā plūsmā katras šķidruma daļiņas ātrums noteiktā punktā, teiksim, punktā A, vienmēr ir vienāds. Kad šķidruma daļiņas šķērso punktu B, to ātrums var mainīties. Tomēr, nonākot punktā B, šķidruma daļiņas, kas seko aiz tām, plūst ar tādu pašu ātrumu kā šķidruma daļiņas, kas atrodas priekšā. Tāpat, nonākot punktā C un tā tālāk. Plūsmas līnija ir līkne, kas savieno punktus A, B un C.
Plūsmas caurule
Mēs varam aprakstīt katru plūsmas līniju caur katru šķidruma plūsmas punktu. Ja mēs uztveram vienmērīgu šķidruma plūsmu, dažas plūsmas līnijas, kas šķērso noteiktu leņķi uz iedomātas virsmas laukuma, veido plūsmas cauruli. Neviena šķidruma daļiņa nekrustojas, bet vienmēr ir paralēlas, un plūsmas caurule atgādinās cauruli, kuras forma joprojām ir tāda pati. Šķidrums, kas ieplūst vienā caurules galā, izplūdīs no caurules otrā galā.
Debets
Izplūde norāda šķidruma tilpumu, kas plūst caur noteiktu šķērsgriezumu noteiktā laika intervālā. Matemātiski to var izteikt šādi:
Izlāde = šķidruma tilpums / laika intervāls
Q = V / t
Lai uzlabotu jūsu izpratni, mēs izmantosim piemēru. Piemēram, šķidrums plūst caur cauruli. Caurules parasti ir cilindriskas un tām ir noteikts šķērsgriezuma laukums. Caurulei ir arī garums.
Kad šķidrums caurulē plūst līdz atzīmei L, šķidruma tilpums caurulē ir V = AL (V = šķidruma tilpums, A = šķērsgriezuma laukums un L = caurules garums). Tā kā, kamēr vien šķidrums plūst caurulē gar atzīmi L, tam ir nepieciešams noteikts laika intervāls, tad varam teikt, ka šķidruma daudzums ir:
Tā kā v = s / t = L / t —> L = vt, iepriekš minētais vienādojums tiek mainīts uz:
Tādējādi, kad šķidrums noteiktu laiku plūst caur cauruli ar noteiktu šķērsgriezuma laukumu un garumu, izplūstošā šķidruma daudzums (Q) ir vienāds ar šķērsgriezuma laukumu (A), kas reizināts ar šķidruma plūsmas ātrumu (v).
Nepārtrauktības vienādojums
Apskatiet šķidruma plūsmu caurulē ar atšķirīgu diametru, kā parādīts attēlā zemāk.
Šajā attēlā redzama šķidruma plūsma no kreisās uz labo pusi (šķidrums plūst no liela diametra caurules uz maza diametra cauruli). Pārtrauktā līnija ir vienkāršota.
A1 = liela diametra caurules šķērsgriezuma laukums, A2 = maza diametra šķērsgriezuma laukums, v1 = šķidruma plūsmas ātrums liela diametra caurulē, v2 = šķidruma plūsmas ātrums maza diametra caurulē, L = šķidruma nobrauktais attālums.
Pastāvīgā plūsmā šķidruma daļiņu plūsmas ātrums noteiktā punktā ir vienāds ar citu šķidruma daļiņu plūsmas ātrumu, kas iet caur šo punktu. Šķidruma plūsma arī nekrustojas (līnijas ir paralēlas). Tāpēc šķidruma masai, kas nonāk vienā caurules galā, jābūt vienādai ar šķidruma masu, kas iziet otrā galā. Ja šķidrumam ir noteikta masa, kas nonāk caurulē ar lielu diametru, tad šķidrums izies pa maza diametra cauruli ar tādu pašu masu.
Tagad apsveriet iepriekš redzamo caurules attēlu. Apskatiet liela diametra cauruli un maza diametra cauruli.
Noteiktā laika intervālā daži šķidrumi plūst caur caurules posmu ar lielu diametru (A1) līdz L1 (L1 = v1 t). Plūstošā šķidruma tilpums ir V.1 = A.1 L1 = A.1 v1 t. Tajā pašā laika intervālā caur maza diametra caurules posmu (A) plūst arī citi šķidrumi.2) līdz L2 (L2 = v2 t). Plūstošā šķidruma tilpums ir V.2 = A.2 L2 = A.2 v2 t.
Nesaspiežamu šķidrumu nepārtrauktības vienādojums
Nesaspiežamos šķidrumos šķidruma blīvums vienmēr ir vienāds katrā punktā, pa kuru tas plūst. Šķidruma masa, kas plūst caurulē ar šķērsgriezuma laukumu A1 (liels caurules diametrs), noteiktā laika intervālā ir:
Tāpat šķidruma masa, kas plūst caurulē, kuras šķērsgriezuma laukums ir A2 (mazs caurules diametrs) noteiktā laika intervālā ir:
Pastāvīgā plūsmā ienākošā šķidruma masa ir tāda pati kā izplūstošā šķidruma masa, tāpēc:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρA2 v2 t
A1 v1 = A.2 v2
Tātad, nepārtrauktības vienādojuma vienādojums nesaspiežami šķidrumi:
A1 v1 = A.2 v2 — 1. vienādojums
A1 = šķērsgriezuma laukums 1, A2 = šķērsgriezuma laukums 2, v1 = šķidruma plūsmas ātrums 1. sekcijā, v2 = šķidruma plūsmas ātrums 2. sadaļā, A v = tilpuma plūsmas ātrums (V/t) = izplūde.
1. vienādojums parāda, ka izplūde vienmēr ir vienāda katrā caurules vai plūsmas caurules punktā. Kad caurules šķērsgriezums samazinās, šķidruma plūsmas ātrums palielinās, savukārt, kad caurules šķērsgriezums kļūst lielāks, šķidruma plūsmas ātrums kļūst mazs.
Kad daļa krāna atveres ir aizvērta, ūdens plūsma kļūst spēcīgāka nekā tad, kad daļa krāna atveres nav aizvērta. Tas ir tāpēc, ka krāna šķērsgriezuma laukums kļūst mazs, kad daļa krāna atveres ir aizvērta, tādējādi palielinot ūdens plūsmas ātrumu. Taču ir svarīgi zināt, ka šķidruma plūsmas ātrums jeb izplūde vienmēr ir vienāda katrā ūdens plūsmas punktā neatkarīgi no tā, vai daļa krāna atveres ir aizvērta vai nē. Tātad, kā mainās šķidruma plūsmas ātrums?
Tad kā ir ar ūdens plūsmu upē? Dziļajai upes daļai ir lielāks šķērsgriezums nekā seklajai upes daļai, tāpēc ūdens plūsmas ātrums dziļajā upē ir mazāks nekā ūdens plūsmas ātrums seklākajā upes daļā.
Saspiežamu šķidrumu nepārtrauktības vienādojums
Saspiesta šķidruma gadījumā šķidruma blīvums ne vienmēr ir vienāds. Citiem vārdiem sakot, šķidruma blīvums mainās, kad tas tiek saspiests. Ja šķidrums netiek saspiests, šķidruma blīvums no vienādojuma tiek izņemts, tāpēc šajā gadījumā šķidruma blīvums ir iekļauts vienādojumā. Atsaucoties uz iepriekš atvasināto vienādojumu, atvasināsim saspiesta šķidruma vienādojumu.
Ieplūstošā šķidruma masa ir vienāda ar izplūstošā šķidruma masu, tāpēc:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρA2 v2 t
Šķidruma plūsmas intervāls ir vienāds, lai to varētu novērst. Vienādojumi mainās uz:
ρ A1 v1 = ρA2 v2 → 2. vienādojums
Šis ir saspiesta šķidruma vienādojums. Atšķirība slēpjas šķidruma blīvumā. Ja šķidrums tiek saspiests, blīvums mainās. Un otrādi, ja šķidrums netiek saspiests, blīvums vienmēr ir vienāds, tāpēc to var izņemt no vienādojuma.
1. problēmas piemērs:
Ūdens plūst caur cauruli ar diametru 10 cm ar ātrumu 2 m/s. Kāda ir ūdens notece?
Zināms:
Caurules diametrs = 10 cm
Caurules rādiuss (r) = 5 cm = 0.05 m
Ūdens ātrums (v) = 2 m/s
Meklē: Debets
šķīdums:
Q = A v
Q = (πr)2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157 m3/s
2. problēmas piemērs:
Caurule ar diametru 20 cm ir savienota ar citu cauruli ar diametru 10 cm. Ja ūdens ātrums caurulē ar diametru 20 cm ir 4 m/s, kāds ir ūdens ātrums caurulē ar diametru 10 cm?
Zināms:
Diametrs 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4m/s
Diametrs 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Meklē: v1
Atbilde:
Q1 = Q2
A1 v1 = A.2 v2
(π r12) (4 m/s) = (πr22) (v2)
(0.1 m)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(0.01 m2)(4 m/s) = (0.0025 m)2)(v)2)
(0.04 m3 /s) = (0.0025 m2)(v)2)
v2 = 16m/s
