Raksts par Bernullis principu un Bernullis vienādojumu
Braucot ar motociklu, mūsu valkātās drēbes pietūkst uz aizmuguri. Dažreiz, ja vējš pūš stipri, durvis var pašas aizvērties. Lai gan vējš pūš ārpus mājas, bet durvis ir iekšpusē.
To var izskaidrot, izmantojot Bernulli principu. Daniels Bernulli (1700–1782) atklāja principu, ko varētu izmantot, lai izskaidrotu iepriekš minēto parādību.
Bernulli princips
Bernulli princips nosaka, ka vietās, kur šķidruma plūsmas ātrums ir liels, šķidruma spiediens ir mazs. Un otrādi, ja šķidruma plūsmas ātrums ir mazs, šķidruma spiediens ir augsts. Kad motocikls pārvietojas ātri, gaisa ātrums ķermeņa priekšpusē un sānos ir liels. Tādējādi gaisa spiediens kļūst zems. Ķermeņa aizmuguri aizsedz ķermeņa priekšpuse, tāpēc gaisa ātrums ķermeņa aizmugurē nekļūst liels. Tā rezultātā gaisa spiediens ķermeņa aizmugurē kļūst lielāks. Tā kā pastāv gaisa spiediena atšķirība, ķermeņa aizmugurē gaisa spiediens ir lielāks nekā gaiss, tas spiež kreklu atpakaļ, tāpēc drēbes izskatās uzpūstas atpakaļ.
Kā ar mājas durvīm, kas aizveras pašas no sevis, kad pūš vējš? Gaiss ārpus mājas pārvietojas ātrāk nekā gaiss mājā. Tā rezultātā gaisa spiediens ārpus mājas ir mazāks nekā gaisa spiediens mājā. Tā kā pastāv spiediena starpība, kur gaisa spiediens mājā ir lielāks, durvis tiek izstumtas. Citiem vārdiem sakot, durvju vērtne pārvietojas no vietas, kur gaisa spiediens ir liels, uz vietu, kur gaisa spiediens ir mazs.
Bernulli vienādojums
Iepriekš mēs esam uzzinājuši par Bernulli principu. Bernulli šo principu izstrādāja arī kvantitatīvi. Lai atvasinātu Bernulli vienādojumu, mēs pieņemam, ka šķidruma plūsma ir vienmērīga un lamināra, nesaspiesta, viskozitāte ir minimāla, lai to varētu ignorēt.
Apspriežot nepārtrauktības vienādojumu, mēs uzzinājām, ka šķidruma plūsmas ātrums var mainīties arī atkarībā no plūsmas caurules plūsmas laukuma. Pamatojoties uz iepriekš aprakstīto Bernulli principu, šķidruma spiediens var mainīties arī atkarībā no šķidruma plūsmas ātruma. Šķidruma spiediens var mainīties arī atkarībā no šķidruma augstuma. Spiediena, plūsmas ātruma un plūsmas augstuma attiecību var iegūt Bernulli vienādojumā.
Bernulli vienādojums ir kritiski svarīgs, jo to var izmantot, lai analizētu lidmašīnu lidojumus, hidroelektrostacijas, cauruļvadu sistēmas utt. Lai Bernulli vienādojumu varētu atvasināt vispārīgā veidā, mēs pieņemam, ka šķidrums plūst caur plūsmas cauruli ar atšķirīgu šķērsgriezuma laukumu un atšķirīgu augstumu. Lai atvasinātu Bernulli vienādojumu, mēs piemērojam darba un enerģijas teorēmu šķidrumam plūsmas caurulē.
Necaurspīdīgā krāsa plūsmas caurulē attēlā zemāk parāda šķidruma plūsmu, savukārt baltā krāsa neuzrāda nekādu šķidrumu.
Šķidrums šķērsgriezuma laukumā 1 (kreisajā pusē) plūst līdz L1 un piespiež šķidrumu 2. sadaļā (labajā pusē) pārvietoties tik tālu, cik L2Tā kā šķērsgriezuma laukums 2 labajā pusē ir mazāks, šķidruma plūsmas ātrums plūsmas caurules labajā pusē ir lielāks (atcerieties nepārtrauktības vienādojumu). Tas rada spiediena starpību starp 2. sekciju (plūsmas caurules labo pusi) un 1. sekciju (plūsmas caurules kreiso pusi) – atcerieties Bernulli principu. Šķidrums, kas atrodas pa kreisi no 1. sekcijas, rada spiedienu (P1) uz šķidruma labajā pusē un darbojas:
Tad W1 vienādojumu var uzrakstīt:
W1 = lpp1 A1 L1
2. sadaļā (plūsmas caurules labajā pusē) ar šķidrumu veiktais darbs ir:
W2 = − p2 A2 L2
Negatīva zīme norāda, ka pieliktais spēks ir pretējs kustības virzienam. Tātad šķidrums darbojas pa labi no šķērsgriezuma 2. Turklāt gravitācijas spēks darbojas uz šķidrumu. Iepriekš minētajā gadījumā dažas šķidruma masas tiek pārvietotas no 1. sekcijas līdz L.1 līdz 2. sadaļai līdz L2, kur ir šķidruma tilpums 1. sekcijā (A1 L1) = šķidruma tilpums 2. iedaļā (A2 L2). Gravitācijas veiktais darbs ir:
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mg/h2 + mgh1)
W3 = mg/h1 - mgh2
Negatīva zīme rodas, šķidrumam plūstot uz augšu, pretēji gravitācijas virzienam. Tādējādi šķidrumam veiktais tīrais darbs ir:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Darba-enerģijas teorēma apgalvo, ka sistēmā paveiktais tīrais darbs ir vienāds ar kinētiskās enerģijas izmaiņām. Tādējādi darbu (W) var aizstāt ar kinētiskās enerģijas izmaiņām (EK2 – EK1).
Iepriekš minēto vienādojumu var uzrakstīt vēlreiz:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Šķidruma masa, kas plūst līdz L1 šķērsgriezumā A1 = šķidruma masa, kas plūst līdz L2 (šķērsgriezums A2Šķidruma masai, teiksim, m, ir tilpums A.1 L1 un A2 L2 kur A1 L1 = A.2 L2 (L2 ir garāks par L1).
Tagad iepriekš minētajā vienādojumā m aizvietojam ar m = ρ AL:
Šis ir Bernulli vienādojums. Bernulli vienādojums ir atvasināts, pamatojoties uz darba-enerģijas principu, tāpēc tas ir enerģijas nezūdamības likums.
P = spiediens, ρ = blīvums, v = šķidruma ātrums, g = brīvās krišanas paātrinājums, h = caurules augstums virs zemes.
Iepriekš minētā Bernulli vienādojuma kreisais un labais segments var attiekties uz diviem punktiem jebkurā vietā plūsmas caurulē, lai mēs varētu pārrakstīt iepriekš minēto vienādojumu šādi:
Tagad apskatīsim Bernulli vienādojumu dažos gadījumos.
Bernulli vienādojums statiskos šķidrumos
Bernulli vienādojuma īpašais gadījums ir statiskais šķidrums, kur šķidrumam nav ātruma. Tādējādi v1 = v2 = 0. Statiska šķidruma gadījumā Bernulli vienādojumu var formulēt šādi:
Ja h2 -h1 = h, šo vienādojumu var uzrakstīt šādi:
p1 - lpp.2 = ρg(h)2 - h1)
p1 - lpp.2 = ρgh
Bernulli vienādojums uz tāda paša augstuma caurules
Ja caurules augstums ir vienāds, Bernulli vienādojums tiek mainīts uz:
