To sauc par Puazeila vienādojumu, jo to atklāja nelaiķis Žans Luijs Marija Puazeils (1799–1869). Kā paskaidrots, katru šķidrumu var uzskatīt par ideālu šķidrumu. Ideāliem šķidrumiem nav viskozitātes. Ja iedomājamies ideālu šķidrumu, kas plūst caurulē, katra šķidruma daļa pārvietojas ar vienādu ātrumu (v). Atšķirībā no ideāliem šķidrumiem, reāliem šķidrumiem jeb šķidrumiem, ar kuriem mēs sastopamies ikdienas dzīvē, ir viskozitāte. Tā kā tiem ir viskozitāte, piemēram, plūstot caurulē, katras šķidruma daļas ātrums mainās. Šķidruma slānis vidū pārvietojas ātrāk (v ir liels), savukārt pie caurules piestiprinātais šķidruma slānis nekustas, t.i., joprojām (v = 0). Tātad no caurules centra līdz malai katra šķidruma daļa pārvietojas ar atšķirīgu ātrumu. Lai jums būtu vieglāk saprast, aplūkojiet attēlu zemāk…
Informācija:
R = caurules/caurules rādiuss
v1 = šķidruma plūsmas ātrums caurules centrā/asī
v2 = šķidruma plūsmas ātrums attālumā r2 no caurules malas
v3 = šķidruma plūsmas ātrums attālumā r3 no caurules malas
v4 = šķidruma plūsmas ātrums attālumā r4 no caurules malas
r = attālums
Lai nodrošinātu vienādu visu šķidrumu plūsmas ātrumu, jebkuras caurules vai caurulītes, caur kuru plūst šķidrums, abos galos ir jābūt spiediena starpībai. Ar šķidrumu šeit mēs domājam reālus šķidrumus, piemēram, ūdeni vai eļļu, kas plūst caur cauruli, asinis, kas plūst caur asinsvadiem utt. Papildus tam, ka spiediena starpība palīdz reālam šķidrumam plūst vienmērīgi, tā var arī ļaut šķidrumiem plūst caurulēs dažādos augstumos.
Žans Luijs Marija Puazeijs, bijušais franču zinātnieks, kas interesējās par cilvēka asinsrites fizikālajiem aspektiem, veica pētījumus, lai noskaidrotu, kā tādi faktori kā spiediena atšķirības, caurules šķērsgriezuma laukums un caurules izmērs ietekmē reāla šķidruma ātrumu. Žana Luija Marijas Puazeija iegūtie rezultāti ir pazīstami kā Puazeija vienādojums.
Puazeila vienādojumu var atvasināt, izmantojot iepriekš atvasināto viskozitātes koeficienta vienādojumu. Mēs izmantojam viskozitātes vienādojumu, jo gadījums ir līdzīgs, lai gan ne identisks. Atvasinot viskozitātes koeficienta vienādojumu, mēs ņemam vērā reāla šķidruma slāņa plūsmu starp divām paralēlām plāksnēm, un šķidrums spēj kustēties stiepes spēka (F) dēļ. Atšķirība ir tāda, ka Puazeila vienādojums, ko mēs atvasināsim, faktiski norāda faktorus, kas ietekmē reāla šķidruma plūsmu caurulē/caurulītē, un šķidrums plūst spiediena atšķirību dēļ. Tāpēc viskozitātes koeficienta vienādojums ir jāpielāgo vēlreiz.
Šķidrumi var plūst spiediena atšķirību dēļ (šķidrumi plūst no vietām ar augstu spiedienu uz vietām ar zemu spiedienu), tāpēc F aizstājam ar p1 - lpp2 (p1 > lpp.2).
Atvasinot viskozitātes koeficienta vienādojumu, mēs ņemam vērā reāla šķidruma slāņa plūsmu starp divām paralēlām plāksnēm. Katra šķidruma daļa regulāri maina ātrumu par attālumu l. Šajā gadījumā šķidruma plūsmas ātrums regulāri mainās no caurules ass līdz caurules malai. Šķidrums caurules ass virzienā plūst ar lielāku ātrumu (v). Jo tālāk uz malu, jo mazāks šķidruma ātrums. Caurules rādiuss = attālums starp caurules asi un caurules malu = R. Attālums starp katru šķidruma daļu un caurules malu = r. Tā kā katras šķidruma daļas skaits ir ļoti liels un to attālums no caurules malas arī mainās, mēs to vienkārši uzrakstām šādi:
v1 = šķidruma ātrums attālumā r1 no caurules malas (r1 = R)
v2 = šķidruma ātrums attālumā r2 no caurules malas (r2 < r1)
v3 = šķidruma ātrums attālumā r3 no caurules malas (r3 < r2 < r1)
v4 = šķidruma ātrums attālumā r4 no caurules malas (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = šķidruma ātrums attālumā rn no caurules malas (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Katras šķidruma daļas skaits ir ļoti liels, un mēs arī nezinām precīzi, cik tas patiesībā ir, tāpēc pietiek to uzrakstīt ar simbolu n. Katra šķidruma daļa regulāri piedzīvo ātruma izmaiņas (v) no caurules ass (r1 = R) līdz caurules malai (rn). No caurules ass (r1 = R) līdz caurules malai (rn) katras šķidruma daļas ātrums samazinās (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
No iepriekš minētā skaidrojuma var secināt, ka no R līdz rn šķidruma ātrums samazinās. Caurules garums = L. Iegūtais vienādojums ir:
Tā kā mēs apsveram šķidruma plūsmas ātrumu (v), 2. vienādojums kļūst par šādu:
Šis ir vienādojums šķidruma plūsmas ātrumam attālumā r no caurules ar rādiusu R. Ja, aplūkojot attēlu iepriekš, rodas neskaidrības... Lūdzu, ņemiet vērā, ka šķidrums plūst caurulē, tāpēc mums jāpārskata šķidruma tilpuma plūsmas ātrums.
Caurules iekšpusē atrodas šķidrums. Piemēram, mēs sadalām šķidrumu ļoti mazos gabalos, kur katra gabala laukuma vienība ir dA, tas atrodas attālumā no caurules ass un tā plūsmas ātrums ir v. Matemātiski to var uzrakstīt šādi:
dA1 = šķidruma šķērsgriezums 1, kas atrodas 1 attālumā no caurules ass
dA2 = šķidruma šķērsgriezums 2, kas atrodas 2 attālumā no caurules ass
dA3 = šķidruma šķērsgriezums 3, kas atrodas 3 attālumā no caurules ass
..................................
dA n = šķidruma šķērsgriezums n, kas ir attālums dA n no caurules ass
Ir tik daudz šķidruma daļu, ka ir ērti tās vienkārši uzrakstīt ar simbolu n. Katras šķidruma daļas tilpuma plūsmas ātrumu matemātiski var uzrakstīt šādi:
Katrs šķidruma gabals atrodas attālumā no r = 0 līdz r = R (R = caurules rādiuss). Citiem vārdiem sakot, katra šķidruma gabala attālums mainās, mērot to no caurules ass. Ja mēs pamēģināsim ar integrāciju, mēs iegūsim vienādojumu šķidruma tilpuma plūsmas ātrumam caurulē:
Informācija:
Q = Debets
R = Caurules vai caurules iekšējais rādiuss
η = Viskozitātes koeficients
P1 - lpp2 = Spiediena starpība starp abiem caurules galiem
L = Caurules garums
p1-p2/L = spiediena gradients (šķidruma plūsma vienmēr virzās spiediena samazināšanās virzienā)
Balstoties uz iepriekš minēto Puaseja vienādojumu, šķiet, ka šķidruma tilpuma plūsmas ātrums jeb izplūde (Q) ir proporcionāls caurules rādiusa ceturtajai pakāpei (R).4), spiediena gradients (p2 - lpp1 /L) un ir apgriezti proporcionāls viskozitātei. Ja caurules rādiuss tiek palielināts (viskozitātes koeficients un spiediena gradients paliek nemainīgi), tad šķidruma plūsmas ātrums palielinās 16 reizes.
Cauruļu, šļirču u. c. projektēšanas pamatkoncepcija izmanto šo vienādojumu. Šķidruma izplūde ir proporcionāla R4 (R = caurules rādiuss). Šļirces vai caurules rādiuss ir rūpīgi jāaprēķina. Piemēram, ja mēs dubultojam adatas rādiusu (r x 2), tad šķidruma izplūde, kas izsmidzina, = palielina īkšķa spiediena spēku 16 reizes.
Puaseja vienādojums arī parāda, ka rādiusa ceturtā pakāpe (r4) ir apgriezti proporcionāls spiediena starpībai starp abiem caurules galiem. Piemēram, sākotnēji asinis plūst asinsvadā ar iekšējo rādiusu r. Ja asinsvads sašaurinās (piemēram, r/2 = asinsvada iekšējais rādiuss samazinās 2 reizes), tad ir nepieciešama 16 reižu spiediena starpība, lai asinis plūstu kā iepriekš (lai izlādes jeb asins tilpuma plūsmas ātrums paliktu nemainīgs).
