Piemēru jautājumi par kolonnu vektoriem un rindu vektoriem
Matemātikā, īpaši lineārajā algebrā, vektori ir pamatjēdziens, ko bieži izmanto dažādos pielietojumos, sākot no fizikas modelēšanas līdz aprēķiniem. Kolonnu vektori un rindu vektori ir divi vektoru attēlošanas veidi, katram ar savām īpašībām un pielietojumu. Šajā rakstā tiks aplūkoti piemēru uzdevumi un to risinājumi, kas saistīti ar kolonnu vektoriem un rindu vektoriem.
Kolonnas vektora un rindas vektora definīcija
Pirms mēs ķeramies pie piemēru jautājumiem un to apspriešanas, vispirms apskatīsim kolonnu vektoru un rindu vektoru pamatdefinīcijas.
– Kolonnu vektori ir vektori, kas izvietoti kolonnā, t. i., vienā vertikālā dimensijā. Piemērs:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4
3
2
\end{pmatrix}
\]
– Rindu vektori ir vektori, kas sakārtoti rindās, tas ir, vienā horizontālā dimensijā. Piemērs:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 un 1 un 7 \end{pmatrix}
\]
1. piemērs: Kolonnu vektoru pievienošana
Jautājums:
Doti šādi divi kolonnu vektori:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1
2
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4
1
0
\end{pmatrix}
\]
Aprēķiniet divu kolonnu vektoru summu.
Risinājums:
Divu kolonnu vektoru saskaitīšana tiek veikta, saskaitot to atbilstošos elementus.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1
2
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4
1
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4
2 + 1
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5
3
3
\end{pmatrix}
\]
Tātad, \(\mathbf{u}\) un \(\mathbf{v}\) summa ir \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \\ end{pmatrix}\).
2. piemēra jautājums: Rindu vektoru saskaitīšana
Jautājums:
Doti šādi divi rindu vektori:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 un 4 un 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 un 3 un 5 \end{pmatrix}
\]
Aprēķiniet divu rindu vektoru summu.
Risinājums:
Divu rindu vektoru saskaitīšana tiek veikta, saskaitot atbilstošos elementus.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 un 4 un 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 un 3 un 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 un 4 + 3 un 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 un 7 un 11 \end{pmatrix}
\]
Tātad, \(\mathbf{a}\) un \(\mathbf{b}\) summa ir \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
3. piemērs: skalāra reizināšana ar kolonnu vektoriem
Jautājums:
Dots kolonnu vektors \(\mathbf{c}\) un skalārs \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3
4
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Aprēķiniet skalārā reizināšanas rezultātu.
Risinājums:
Skalāra reizināšana ar kolonnas vektoru tiek veikta, reizinot katru vektora elementu ar skalāru.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3
4
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 reizes -3
2 reizes 4
2 x 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6
8
10
\end{pmatrix}
\]
Tātad, skalāra \(2\) reizināšanas ar kolonnas vektoru \(\mathbf{c}\) rezultāts ir \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
4. piemēra jautājums: skalāra reizināšana ar rindu vektoriem
Jautājums:
Dots rindu vektors \(\mathbf{d}\) un skalārs \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 un -2 un 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Aprēķiniet skalārā reizināšanas rezultātu.
Risinājums:
Skalāra reizināšana ar rindas vektoru tiek veikta, reizinot katru vektora elementu ar skalāru.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 un -2 un 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 un -3 \times -2 un -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 un 6 un -3 \end{pmatrix}
\]
Tātad, skalāra \(-3\) reizināšanas ar rindu vektoru \(\mathbf{d}\) rezultāts ir \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
5. piemērs: Matricas \(1 \x 3\) reizināšana ar \(3 \x 1\) (rindu vektors ar kolonnu vektoru)
Jautājums:
Dots rindas vektors \(\mathbf{e}\) un kolonnas vektors \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5
3
-2
\end{pmatrix}
\]
Aprēķiniet abu vektoru reizinājumu.
Risinājums:
Lai veiktu matricu reizināšanu, rindu vektors \(\mathbf{e}\) tiek uzskatīts par \(1 \x 3\) matricu, un kolonnu vektors \(\mathbf{f}\) tiek uzskatīts par \(3 \x 1\) matricu. Šīs reizināšanas rezultāts ir skalārs, proti, atbilstošo elementu reizinājumu summa:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5
3
-2
\end{pmatrix} = (2 x 5) + (-1 x 3) + (4 x -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Tātad, rindu vektora \(\mathbf{e}\) reizināšanas ar kolonnu vektoru \(\mathbf{f}\) rezultāts ir \(-1\).
6. piemērs: Matricas \(3 × 1\) reizināšana ar \(1 × 3\) (kolonnu vektors ar rindu vektoru)
Jautājums:
Dots kolonnu vektors \(\mathbf{g}\) un rindu vektors \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1
2
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 un 5 un 6 \end{pmatrix}
\]
Aprēķiniet abu vektoru reizinājumu.
Risinājums:
Kolonnas vektora matricas reizināšana ar rindu vektoru rada (\(3 \x 1\)) matricu, kas reizināta ar (\(1 \x 3\)), kas rada \(3 \x 3\) matricu. Katrs jaunais elements ir tā atbilstošo elementu reizinājums:
\[
g) un h) = begin{pmatrix}
1
2
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4. un 5. un 6. \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 x 4 un 1 x 5 un 1 x 6 \\
2 x 4 un 2 x 5 un 2 x 6 \\
3 x 4 un 3 x 5 un 3 x 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 un 5 un 6 \\
8 un 10 un 12 \\
12, 15 un 18
\end{pmatrix}
\]
Tātad, kolonnu vektora \(\mathbf{g}\) reizināšanas ar rindu vektoru \(\mathbf{h}\) rezultāts ir matrica:
\[
\sākt{pmatrix}
4 un 5 un 6 \\
8 un 10 un 12 \\
12, 15 un 18
\end{pmatrix}
\]
Secinājums
Šajā rakstā esam apskatījuši vairākus piemērus, kas saistīti ar kolonnu un rindu vektoriem. Gan kolonnu, gan rindu vektoru saskaitīšana tiek panākta, saskaitot to atbilstošos elementus. Skalāra reizināšana ar vektoru tiek panākta arī, reizinot katru vektora elementu ar skalāru. Visbeidzot, mēs esam iemācījušies reizināt rindu un kolonnu vektorus, iegūstot skalāru vai matricu atkarībā no to secības. Šo pamatdarbību apgūšana ir ļoti svarīga sarežģītākiem lineārās algebras un datu analīzes pielietojumiem.
