Trigonometrisko attiecību viena veida jautājumu un apspriešanas piemēri: tan θ
Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta leņķu un malu garumu attiecības trijstūros. Viens no bieži apspriestajiem trigonometriskajiem rādītājiem ir tangenss (tangens). Šajā rakstā mēs pievērsīsimies tangena rādītāja izmantošanai dažāda veida problēmās un apspriedīsim vairākus piemērus, kas saistīti ar tangenu θ.
Tan θ definīcija
Leņķa θ pieskare ir definēta kā pretējās malas garuma attiecība pret blakus esošās malas garumu taisnleņķa trijstūrī. Matemātiski to uzraksta šādi:
\[ \tan θ = \frac{\text{pretējā puse}}{\text{blakus puse}} \]
Vienības aplī tan var interpretēt arī kā attiecību starp y koordinātu (priekšējo pusi) un x koordinātu (sānu pusi) apļa punktam, kas atrodas vienas vienības attālumā no centra.
Tan funkcija matemātikā un fizikā
Trigonometrija, īpaši tan funkcija, tiek izmantota dažādos matemātiskajos un fizikālajos pielietojumos. Piemēram, klasiskajā fizikā tan funkciju izmanto šāviņa kustības analīzē, bet inženierzinātnēs to izmanto virsmas slīpuma vai gradienta aprēķināšanai.
Parauga jautājumi un diskusija
Šeit ir daži jautājumu piemēri un to apspriešana, lai dziļāk izprastu tan θ lietojumu.
1. jautājums: taisnleņķa trijstūra tan θ aprēķināšana
Dots: taisnleņķa trijstūrim priekšējās malas, kas vērsta pret leņķi θ, garums ir 4 cm, un malas, kas blakulē leņķim θ, garums ir 3 cm. Aprēķiniet tan θ vērtību.
Diskusija:
Izmantojiet iedeguma definīciju:
\[ \tan θ = \frac{\text{priekšējā puse}}{\text{sāna puse}} \]
Aizstājiet zināmās vērtības:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Tātad, tan θ vērtība ir \( \frac{4}{3} \).
2. jautājums: malas garuma noteikšana, izmantojot tan θ
Dots: Ir zināms, ka taisnleņķa trijstūris ar leņķi θ ir vienāds ar tan θ = 0.75. Leņķim θ blakus esošās malas garums ir 8 cm. Aprēķiniet pretējās malas, kas ir pretēja leņķim θ, garumu.
Diskusija:
Izmantojiet tan definīciju, lai atrastu pretējās malas garumu:
\[ \tan θ = \frac{\text{priekšējā puse}}{\text{sāna puse}} \]
\[0.75 = \frac{\teksts{priekšējā puse}}{8} \]
Lai atrisinātu vienādojumu, reiziniet abas puses ar 8.
\[ \text{priekšpuse} = 0.75 \reiz 8 \]
\[ \teksts{priekšpuse} = 6 cm \]
Tātad, priekšējās puses garums ir 6 cm.
3. jautājums: Leņķa θ aprēķināšana, ja tan θ ir zināms
Dots: Ir zināms taisnleņķa trijstūris, kura tan θ = 1. Nosauciet leņķi θ.
Diskusija:
Leņķa tangenss ir vienāds ar 1, ja pretējā mala un blakus esošā mala ir vienāda garuma. Pamata trigonometrijā tas notiek 45° leņķī.
Tāpēc θ vērtība ir 45°.
4. jautājums: Tan θ izmantošana algebras uzdevumos
Dots: Virve ir piesieta no 15 metrus augsta staba augšdaļas līdz punktam uz zemes, kas atrodas 20 metru attālumā no staba pamatnes. Aprēķiniet tan θ, kur θ ir leņķis, ko veido virve un stabs.
Diskusija:
Izmantojiet iedeguma definīciju:
\[ \tan θ = \frac{\text{priekšējā puse (staba augstums)}}{\text{sāna puse (horizontālais attālums)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Vienkāršojiet daļskaitli:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Tātad, tan θ vērtība ir \( \frac{3}{4} \).
5. jautājums: Augstuma noteikšana pēc attāluma un slīpuma leņķa
Dots: novērotājs stāv 100 metru attālumā no augstas ēkas. Novērojuma tan θ no novērotāja pozīcijas līdz ēkas augšai ir \(\tan 30^\circ\). Nosakiet ēkas augstumu.
Diskusija:
Ir zināms, ka \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{priekšējā puse (ēkas augstums)}}{\text{sāna puse (attālums)} } \]
Ievietojiet zināmās vērtības vienādojumā
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{ēkas augstums}}{100} \]
Reiziniet abas puses ar 100, lai izolētu augstumu.
\[ \text{ēkas augstums} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{ēkas augstums} = \frac{100 \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{ēkas augstums} ≈ 57.73 \text{ metri} \]
Tātad ēkas augstums ir aptuveni 57.73 metri.
6. jautājums: Leņķa noteikšana no augstuma un attāluma
Dots: Jūs zināt, ka torņa augstums ir 50 metri un horizontālais attālums no novērošanas punkta līdz torņa apakšai ir 70 metri. Nosakiet pacēluma leņķi līdz torņa augšai.
Diskusija:
\[ \tan θ = \frac{\text{torņa augstums}}{\text{horizontālais attālums}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
Lai atrastu θ, mēs izmantojam apgriezto tangensu funkciju (tan⁻¹) jeb arktanu.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Izmantojot kalkulatoru vai trigonometrijas tabulu, mēs varam atrast θ vērtību.
\[θ ≈ 35.54° \]
Tātad, pacēluma leņķis pret torņa virsotni ir aptuveni 35.54°.
Secinājums
Trigonometrija ir spēcīgs instruments daudzās zinātnes jomās. Piemēram, pieskare ir vienkārša, bet efektīva attiecība, ko izmanto, lai risinātu problēmas, kas saistītas ar leņķiem un malu garumiem. Izprotot tās definīciju un lietošanas veidu, mēs varam atrisināt plašu ģeometrijas un fizikas problēmu klāstu. Praktizējot tādas problēmas kā iepriekš minētais piemērs, mēs varam kļūt prasmīgāki tan θ izmantošanā ikdienas aprēķinos.
