Jautājuma piemērs, kurā apspriesta divu vektoru pievienošana, izmantojot paralelograma metodi
Vektoru saskaitīšana ir būtisks jēdziens fizikā un matemātikā, ko bieži izmanto, lai aprakstītu dabas parādības un ikdienas dzīves problēmas. Divu vektoru saskaitīšanai ir vairākas metodes, no kurām viena ir paralelograma metode. Šī metode ir ne tikai intuitīva, bet arī nodrošina spēcīgu vizualizāciju par to, kā divi vektori apvienojas, veidojot rezultējošo vektoru. Šajā rakstā mēs aplūkosim vairākus vektoru saskaitīšanas piemērus, izmantojot paralelograma metodi, kā arī to risinājumus.
Kas ir vektors?
Pirms ķeramies pie piemēru uzdevumiem, mums ir jāsaprot vektora pamatdefinīcija. Vektors ir lielums, kam ir gan lielums (garums), gan virziens. Klasiski vektoru piemēri ir ātrums, paātrinājums, spēks un pārvietojums. Vektoru var attēlot kā tā komponentus (i, j, k) Dekarta koordinātēs vai kā tā garumu un virzienu (leņķi).
Paralelogrammas metode
Paralelograma metode ir viens no veidiem, kā saskaitīt divus vektorus. Šajā metodē mēs attēlojam divus vektorus kā paralelograma divas malas. Iegūtais vektors ir paralelograma diagonāle, sākot no abu vektoru sākuma punkta. Matemātiski, ja mums ir divi vektori \(\vec{A}\) un \(\vec{B}\), tad iegūtais vektors ir \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Paralelograma metodes izmantošanas soli pa solim metode ir šāda:
1. No sākuma punkta uzzīmējiet vektoru \(\vec{A}\).
2. No vektora \(\vec{A}\) gala uzzīmējiet vektoru \(\vec{B}\).
3. Novelciet līniju, kas ir paralēla vektoram \(\vec{B}\) no sākuma punkta \(\vec{A}\).
4. No vektora \(\vec{A}\) gala novelciet līniju, kas ir paralēla vektoram \(\vec{B}\).
5. Novelciet diagonāli no sākuma punkta līdz pretējam stūrim, lai iegūtu rezultējošo vektoru \(\vec{R}\).
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums
Pieņemsim, ka mums ir divi vektori \(\vec{A}\) un \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) garums (lielums) ir 5 vienības un virziens ir 0° (jeb pa pozitīvo x asi),
– \(\vec{B}\) garums ir 3 vienības un virziens ir 90° (jeb pa pozitīvo y asi).
Kāda ir iegūtā vērtība, saskaitot šos divus vektorus, izmantojot paralelograma metodi?
Diskusija:
1. Uzzīmējiet vektoru \(\vec{A}\) pa pozitīvo x asi ar garumu 5 vienības.
2. No vektora \(\vec{A}\) gala uzzīmējiet vektoru \(\vec{B}\) pa pozitīvo y asi ar garumu 3 vienības.
3. No sākuma punkta (\vec{A}\) novelciet līniju, kas ir paralēla punktam (\vec{B}\).
4. No \(\vec{B}\) gala novelciet līniju, kas ir paralēla \(\vec{A}\).
5. Rezultāts ir paralelograms ar diagonāli, kas ir rezultējošais vektors \(\vec{R}\).
Tā kā \(\vec{A}\) un \(\vec{B}\) ir perpendikulāri viens otram, iegūtā vektora garumu var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:
\[R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \aptuveni 5.83 \]
Iegūtā vektora virzienu var aprēķināt, izmantojot trigonometriju. Ja \(\theta\) ir leņķis starp rezultējošo vektoru un \(\vec{A}\):
[tan(heta) = B(A) = 3(5)]
tātad:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \aptuveni 30.96^\circ \]
Tādējādi iegūtā vektora \(\vec{R}\) lielums ir aptuveni 5.83 vienības un virziens ir aptuveni 30.96° no \(\vec{A}\).
2. jautājums
Divi vektori \(\vec{C}\) un \(\vec{D}\) ir doti šādi:
– \(\vec{C}\) ar 4 vienību garumu un 45° virzienu.
– \(\vec{D}\) ar garumu 6 vienības un virzienu 120°.
Nosakiet iegūto vektoru \(\vec{R}\), saskaitot abus vektorus.
Diskusija:
Lai saskaitītu divus vektorus, kas nav perpendikulāri viens otram vai atrodas dažādās formās, var izmantot Dekarta komponentes.
1. Sadaliet \(\vec{C}\) un \(\vec{D}\) x un y komponentēs.
Priekš \(\vec{C}\):
\[C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \aptuveni 2.83 \]
\[C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \aptuveni 2.83 \]
Priekš \(\vec{D}\):
\[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \aptuveni 5.20 \]
2. Saskaitiet abu vektoru x un y komponentus:
\[R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Aprēķiniet iegūtā vektora \(\vec{R}\) lielumu un virzienu:
\[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \aptuveni 8.03 \]
[theta = tan^{-1}(R_y}{R_x}) = tan^{-1}(8.03}{-0.17) aptuveni tan^{-1}(-47.24)]
Tā kā rezultāts ir negatīvs, mēs pievienojam 180°, lai iegūtu leņķi pareizajā kvadrantu sistēmā:
\[ \heta \apm. \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \apm. 271.93^\circ \]
Tātad iegūtā vektora \(\vec{R}\) lielums ir aptuveni 8.03 vienības un virziens ir aptuveni 271.93° jeb, mēs varam teikt, aptuveni 91.93° no negatīvās x ass ceturtajā kvadrantā.
Pennutup
Paralelograma metode ir efektīvs un vizuāls veids, kā saskaitīt divus vektorus. Lai gan vienkāršiem vektoriem šī metode var šķist vienkārša, ir svarīgi saprast, ka sarežģītākiem vektoriem precīzu rezultātu iegūšanai bieži vien ir jāizmanto Dekarta komponentes un sarežģītākas algebriskās metodes. Cerams, ka iepriekš minētie piemēri sniedz skaidru priekšstatu par to, kā šo metodi var pielietot dažādās situācijās.
