Diskusijas jautājuma piemērs par normālā sadalījuma paredzamo vērtību
Normālais sadalījums, kas pazīstams arī kā Gausa sadalījums, ir viens no visbiežāk izmantotajiem nepārtrauktajiem varbūtību sadalījumiem statistikā un varbūtību aprēķināšanā. Šis sadalījums bieži tiek izmantots kā pamatpieņēmums dažādos statistiskajos secinājumos, pateicoties tā labvēlīgajām matemātiskajām īpašībām, piemēram, simetrijai un unikalitātei parametrizēšanā ar vidējo vērtību (µ) un standartnovirzi (σ). Šajā rakstā tiks aplūkoti piemēri un normālā sadalījuma paredzamā vērtība, lai sniegtu dziļāku izpratni par šo koncepciju.
Normālā sadalījuma izpratne
Normālo sadalījumu attēlo simetriska zvana līkne, kurā lielākā daļa vērtību koncentrējas ap vidējo vērtību jeb vidējo vērtību. Šajā sadalījumā vidējais lielums (µ) un standartnovirze (σ) ir divi svarīgi parametri, kas nosaka datu izplatības atrašanās vietu un apjomu.
Normālā sadalījuma varbūtības blīvuma funkcija (PDF) ir:
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}]
di mana:
– \( \mu \) ir vidējais vai vidējais rādītājs
– \( \sigma \) ir standartnovirze
– \(x \) ir nejaušs mainīgais
Paredzamā vērtība normālā sadalījumā
Nejauša mainīgā ar normālu sadalījumu paredzamā vērtība ir vienāda ar sadalījuma vidējo vērtību. Ja \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \), tad paredzamā vērtība \(E(X) \) ir:
\[ E(X) = \mu \]
Turpināsim ar dažiem problēmu piemēriem saistībā ar paredzamajām vērtībām normālos sadalījumos, lai stiprinātu mūsu izpratni.
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājuma piemērs:
Pieņemsim, ka \(X \) ir normāli sadalīts nejaušs mainīgais ar \( \mu = 50 \) un \( \sigma = 10 \). Aprēķiniet \(X \) paredzamo vērtību.
Diskusija:
Kā jau minēts iepriekš, normālā sadalījumā paredzamā vērtība \(E(X) \) ir vienāda ar \( \mu \). Tātad,
\[E(X) = \mu = 50 \]
2. jautājuma piemērs:
Dots nejaušs mainīgais \(Y \) ir normāli sadalīts ar \( \mu = 120 \) un \( \sigma = 15 \). Aprēķiniet \(Y \) paredzamo vērtību.
Diskusija:
Līdzīgi kā pirmajā piemērā, paredzamā vērtība \(Y \) ir normālā sadalījuma vidējā vērtība jeb vidējais rādītājs, proti:
\[E(Y) = \mu = 120 \]
3. jautājuma piemērs:
Ja nejaušais mainīgais \(Z \) atbilst normālajam sadalījumam ar \( \mu = 0 \) un \( \sigma = 1 \) (standarta normālais sadalījums), kāda ir \(Z \) paredzamā vērtība?
Diskusija:
Standarta normālajam sadalījumam ir vidējā vērtība (mu = 0), tāpēc paredzamā vērtība (E(Z)) ir:
\[E(Z) = \mu = 0 \]
4. jautājuma piemērs:
Pieņemsim, ka \(W \) ir normāli sadalīts nejaušs mainīgais ar vidējo vērtību \(mu = 75 \) un standartnovirzi \(sigma = 20 \). Ja mēs definējam jaunu nejaušu mainīgo \(V = 2W + 3 \), kāda ir \(V \) paredzamā vērtība?
Diskusija:
Lai atrastu paredzamo V vērtību, mums jāizmanto paredzamās vērtības linearitātes īpašība. Dots V = 2W + 3, tad:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Pamatojoties uz paredzamās vērtības linearitātes īpašību, mēs varam atdalīt konstantu no nejaušā mainīgā:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Zinot, ka konstantes paredzamā vērtība ir pati konstante:
\[ E(3) = 3 \]
Un paredzamā vērtība \(W \) ir normālā sadalījuma \(W \) vidējā vērtība:
\[E(W) = \mu = 75 \]
Tātad,
\[E(V) = 2 x 75 + 3 \]
\[E(V) = 150 + 3 \]
\[E(V) = 153 \]
5. jautājuma piemērs:
Nejaušais mainīgais \(Q \) atbilst normālam sadalījumam ar vidējo vērtību \( \mu = 40 \) un standartnovirzi \( \sigma = 5 \). Kāda ir \(Q \) paredzamā vērtība, ja \[ U = Q/2 \]?
Diskusija:
Mēs izmantojam to pašu principu kā 4. piemērā, proti, paredzamās vērtības linearitātes īpašību. Ņemot vērā, ka \(U = Q/2 \), tad:
\[ E(U) = E\kreisais(\frac{Q}{2}\labais) \]
Pamatojoties uz paredzamās vērtības linearitātes īpašību:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Mēs zinām, ka paredzamā vērtība \(Q \) ir normālā sadalījuma \(Q \) vidējā vērtība:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Tātad,
\[E(U) = \frac{1}{2} \reiz 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Secinājums
Normālā sadalījumā nejaušā mainīgā paredzamā vērtība vienmēr ir vienāda ar sadalījuma vidējo vērtību (µ). Iepriekš minētie uzdevumu piemēri parāda dažādus nosacījumus paredzamās vērtības aprēķināšanai, izmantojot linearitātes īpašību. Šī pamatjēdziena izpratne atvieglo normālā sadalījuma problēmu risināšanu statistikā un varbūtību analīzē.
Normālais sadalījums ir ļoti svarīgs statistikā, jo to izmanto plašā praktisko pielietojumu klāstā, tostarp hipotēžu pārbaudē, parametru novērtēšanā un dažādos citos statistiskos secinājumos. Laba izpratne par šī sadalījuma paredzamo vērtību ir svarīgs pirmais solis datu analīzē.
Cerams, ka šis raksts sniedz skaidru un noderīgu normālā sadalījuma paredzamās vērtības skaidrojumu, kā arī atbilstošus piemēru jautājumus un diskusijas.
