Piemēru jautājumi un diskusija par apļiem un pieskarēm
Apļi un pieskares ir divas bieži apspriestas tēmas matemātikā, īpaši vidusskolas līmenī. Apļu pieskares jēdziena un pielietojuma izpratne ir ļoti svarīga, lai padziļinātu zināšanas ģeometrijā. Šajā rakstā tiks sniegti uzdevumu piemēri un diskusijas par apļiem un pieskarēm, lai sniegtu lasītājiem dziļāku izpratni.
Ievads apļu un pieskaru teorijā
Lingkaran
Aplis ir punktu kopa plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no fiksēta punkta, ko sauc par apļa centru. Šo fiksēto attālumu sauc par apļa rādiusu. Matemātiski apli var definēt ar šādu vienādojumu:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
kur \(a, b)\) ir apļa centra koordinātas un \(r\) ir rādiuss.
Pieskāriens
Apļa pieskare ir līnija, kas pieskaras aplim tieši vienā punktā. Šo punktu sauc par pieskares punktu. Pieskares galvenā īpašība ir tā, ka tā ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts no apļa centra līdz pieskares punktam.
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums: pieskares līnijas vienādojuma noteikšana
Jautājums:
Dots riņķa līnija ar centru \( (2, 3) \) un rādiusu 5. Nosakiet pieskares līnijas vienādojumu riņķa līnijai punktā \( P \) ar koordinātām \( (5, 7) \).
Diskusija:
1. darbība. Pārliecinieties, vai punkts \(P \) faktiski atrodas uz apļa.
Lai pārbaudītu, vai \(P(5, 7) \) atrodas uz riņķa līnijas ar centru \((2, 3) \) un rādiusu \(5 \), ievietojiet \(P \) koordinātas riņķa līnijas vienādojumā:
\[ (x–2)^2 + (y–3)^2 = 5^2 \]
\[(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Tā kā vienādība ir patiesa, punkts \(P \) atrodas uz riņķa līnijas.
2. solis: Nosakiet rādiusa gradientu, kas iet caur \((2, 3) \) un \((5, 7) \):
\[m_{rādiuss} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
3. solis: Tangentes līnijas slīpums, kas ir perpendikulāra rādiusa slīpumam (reizinājuma slīpums ir -1):
\[ m_{pieskares} = -\frac{1}{m_{rādiuss}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
4. solis: Izmantojot punktu \(P (5, 7) \), nosakiet pieskares līnijas vienādojumu:
[y – y_1 = m(x – x_1)]
\[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Vienkāršot:
\[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[4g – 28 = -3x + 15 \]
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Tātad pieskares līnijas vienādojums ir:
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
2. jautājums: pieskares punkta noteikšana no līnijas vienādojuma
Jautājums:
Dots riņķa līnija ar vienādojumu \(x^2 + y^2 = 25 \) un taisne \(y = \frac{3}{4}x + 2 \). Nosakiet taisnes un riņķa līnijas pieskares punktu.
Diskusija:
1. darbība: Aizstājiet taisnes vienādojumu apļa vienādojumā:
Apļa vienādojums:
\[x^2 + y^2 = 25 \]
Aizvietojiet \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) apļa vienādojumā:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
2. solis: Vienkāršojiet vienādojumu:
\[16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
3. darbība: sakņu atrašana, izmantojot kvadrātvienādojumu formulu:
\[x = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}}]
\[a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[x = \frac{-48 \pm\sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[x = \frac{-48 \pm\sqrt{35904}}{50} \]
\[x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Derīga \(x \) izvēle, pamatojoties uz pieskares punktu (tikai viens \(x \) radīs pieskares punktu):
\[x = \frac{141.501}{50} \aptuveni 2.83 \]
\[ x \aptuveni 2.83 \]
4. solis: Aizvietojiet \(x \) taisnes vienādojumā, lai iegūtu \(y \):
\[y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \aptuveni 2.12 + 2 \]
\[y \aptuveni 4.12 \]
Tātad, pieskares punkts starp taisni \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) un riņķa līniju \(x^2 + y^2 = 25 \) ir \((2.83, 4.12) \).
Secinājums
Apļa un pieskares jēdzienu apgūšana ietver ģeometrijas pamatu izpratni un spēju risināt problēmas, izmantojot matemātiskos vienādojumus. Iepriekš minētās problēmas palīdz skolēniem praktizēt teorijas pielietošanu konkrētākās situācijās. Ar pastāvīgu praksi no skolēniem tiek sagaidīts, ka viņi vieglāk sapratīs un atrisinās problēmas.
