Piemēru jautājumi par apļiem un lokiem
Aplis ir ģeometriska pamatforma, ko bieži pēta dažādos izglītības līmeņos. Šis jēdziens ir aktuāls ne tikai akadēmiskajā vidē, bet tam ir arī plaši pielietojumi ikdienas dzīvē, piemēram, arhitektūras projektēšanā, ceļu inženierijā un pat mākslā. Šajā rakstā tiks aplūkoti dažādi apļu un loku problēmu piemēri, kā arī to risinājumi.
Apļu un riņķa loku izpratne
Aplis ir visu to punktu kopums plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par apļa centru. Attālumu no apļa centra līdz jebkuram punktam uz apļa sauc par rādiusu. Apļa loks ir tā apkārtmēra daļa, ko ierobežo divi punkti uz apļa.
Pamatformulas, kas jums jāzina
1. Apļa apkārtmērs (K):
\[
K = 2 ∫π r
\]
kur \(r \) ir apļa rādiuss un \( \pi \approx 3.14 \) vai \( \pi \approx \frac{22}{7} \).
2. Apļa laukums (A):
\[
A = ∫π r^2
\]
3. Loka garums (s):
\[
s = ∫πθερη 360^circ} x 2 π r
\]
kur \( \heta \) ir centrālais leņķis grādos.
4. Sektora zona (L):
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} x \pi r^2
\]
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums: Apļa apkārtmērs
Jautājums:
Apļa rādiuss ir 14 cm. Aprēķiniet apļa apkārtmēru.
Diskusija:
Izmantojot apļa apkārtmēra aprēķināšanas formulu:
\[
K = 2 ∫π r
\]
Kur r = 14 cm,
\[
K = 2 x ∫\frac{22}{7} x 14 = 2 x 22 x 2 = 88 \text{cm}
\]
Tātad apļa apkārtmērs ir 88 cm.
2. jautājums: Apļa laukums
Jautājums:
Dots aplis ar diametru 10 cm. Aprēķiniet apļa laukumu.
Diskusija:
Vispirms atrodam apļa rādiusu:
\[
r = d(2) = 10(2) = 5, cm
\]
Izmantojot apļa laukuma formulu:
\[
A = ∫π r^2
\]
\[
A = ∫pi × 5^2 = ∫pi × 25 aptuveni 3.14 × 25 = 78.5 cm^2
\]
Tātad apļa laukums ir 78.5 cm².
3. jautājums: Apļa loka garums
Jautājums:
Aplim ar rādiusu 21 cm ir loks, kura centrālais leņķis ir 60°. Kāds ir loka garums?
Diskusija:
Izmantojot loka garuma formulu:
\[
s = ∫πθερη 360^circ} x 2 π r
\]
Kur \( \heta = 60^\circ \) un \( r = 21 \, \text{cm} \),
\[
s = ∫\frac{60^\circ}{360^\circ} x 2 x ∫\frac{22}{7} x 21
\]
\[
s = ∫(1}{6}) x 2 x ∫(22}{7}) x 21
\]
\[
s = ∫(1)6 x 132 = 22, cm
\]
Tātad, loka garums ir 22 cm.
4. jautājums: sektora platība
Jautājums:
Aprēķiniet riņķa līnijas sektora laukumu, ja centrālais leņķis ir 90° un rādiuss ir 7 cm.
Diskusija:
Izmantojot nozares apgabala formulu:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} x \pi r^2
\]
Kur \( \heta = 90^\circ \) un \( r = 7 \, \text{cm} \),
\[
L = ∫₀(90^\circ}{360^\circ} x ∫₀(pi x 7^2)
\]
\[
L = ∫\frac{1}{4} × ∫\pi × 49
\]
\[
L = ∫₀ (49 pi)
\]
\[
L \aptuveni \frac{49 \reiz 3.14}{4} \aptuveni \frac{153.86}{4} \aptuveni 38.465 \, \text{cm}^2
\]
Tātad sektora platība ir 38 465 cm².
5. jautājums: Apkārtmēra un laukuma jautājumu kombinācija
Jautājums:
Apļa apkārtmērs ir 44 cm. Aprēķiniet apļa laukumu.
Diskusija:
Vispirms mēs atrodam apļa rādiusu, izmantojot apkārtmēra formulu:
\[
K = 2 ∫π r
\]
Kur \(K = 44 \, \text{cm} \),
\[
44 = 2 x ∫\frac{22}{7} x r
\]
\[
44 = ∫₀ (44°), ≤ 7° r
\]
\[
r = ∫\frac{44 × 7}{44} = 7, \text{cm}
\]
Tālāk aprēķiniet apļa laukumu:
\[
A = ∫π r^2
\]
\[
A = ∫pi × 7^2 = ∫pi × 49 ~ aptuveni 3.14 × 49 ~ aptuveni 153.86, cm^2
\]
Tātad apļa laukums ir 153.86 cm².
6. jautājums: Apļu salīdzinājums
Jautājums:
Divu riņķa līniju rādiusi ir attiecīgi 5 cm un 10 cm. Nosakiet abu riņķa līniju apkārtmēra un laukuma attiecību.
Diskusija:
Apkārt:
Pirmajam aplim \(r_1 = 5 \, \text{cm} \):
\[
K_1 = 2 ∫π r_1 = 2 ∫π reizināts ar 5 = 10 ∫π, \text{cm}
\]
Otrajam aplim \(r_2 = 10 \, \text{cm} \):
\[
K_2 = 2 ∫π r_2 = 2 ∫π reizināts ar 10 = 20 ∫π, \text{cm}
\]
Perimetra salīdzinājums:
\[
\\frac{K_1}{K_2} = \\frac{10\pi}{20\pi} = \\frac{1}{2}
\]
Plats:
Pirmajam aplim:
\[
A_1 = ∫π r_1^2 = ∫π reizināts ar 5^2 = 25 ∫π, ∫π cm^2
\]
Otrajam aplim:
\[
A_2 = ∫π r_2^2 = ∫π reizināts ar 10^2 = 100 ∫π, ∫π cm^2
\]
Apgabalu salīdzinājums:
\[
\\frac{A_1}{A_2} = \\frac{25 \\pi}{100 \\pi} = \\frac{1}{4}
\]
Tādējādi abu apļu apkārtmēru attiecība ir 1:2, un to laukumu attiecība ir 1:4.
Secinājums
Apļu un loku pamatjēdzienu un formulu izpratne ir būtiska dažādu ģeometrijas problēmu risināšanai. Šajā rakstā ir sniegti vairāki uzdevumu piemēri un diskusijas, lai uzlabotu jūsu izpratni par šo materiālu. Praktiski uzdevumi un padziļināta izpratne palīdzēs jums pielietot šos jēdzienus dažādās studiju jomās un reālās dzīves situācijās.
