Piemēru jautājumi par grupētu datu kvartilēm
Pendahuluan
Kvartiles statistikā ir centrālās tendences mērs, kas sadala datus četrās vienādās daļās. Kvartiles sastāv no pirmās kvartiles (Q1), otrās kvartiles (Q2) un trešās kvartiles (Q3). Daudzos gadījumos analizējamos datus var grupēt. Šajā rakstā tiks aplūkoti piemēri un grupētu datu kvartiļu apspriešana.
Kvartiļu izpratne grupas datos
Kvartiles ir vērtības, kas sadala organizētus datus četrās vienādās daļās. Pirmo kvartili (Q1) sauc par 25. procentili, otro kvartili (Q2) sauc arī par mediānu vai 50. procentili, bet trešo kvartili (Q3) sauc par 75. procentili.
Grupētiem datiem kvartiļu aprēķināšana ir nedaudz sarežģītāka nekā atsevišķiem datiem. Grupēti dati parasti tiek attēloti biežuma sadalījuma tabulā, tāpēc kvartiļu aprēķināšanai jāizmanto īpaša formula.
Kvartiles formula grupētiem datiem
Lai atrastu kvartiles grupētos datos, mēs izmantojam šādu formulu:
– Pirmā kvartile (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + ∫(\frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}}) × c
\]
– Otrā kvartile (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + ∫(\frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}}) × c
\]
– Trešā kvartile (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + ∫(\frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} ∫) x c
\]
Kur:
– \(L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = klases Q1, Q2, Q3 apakšējā robeža
– \(N \) = datu skaits
– \(F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = kumulatīvā frekvence pirms Q1, Q2, Q3 klases
– \(f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = klases frekvences Q1, Q2, Q3
– \(c \) = klases garums
Problēmu piemērs
Šis ir grupas datu problēmas piemērs, kas tiks izmantots kvartilu aprēķināšanai:
| Vērtība | Biežums |
|————|———–|
| 10–19 | 5 |
| 20–29 | 8 |
| 30–39 | 12 |
| 40–49 | 15 |
| 50–59 | 6 |
| 60–69 | 4 |
1. darbība: nosakiet kumulatīvo frekvenci
Pirmkārt, mums jānosaka katras klases kumulatīvā frekvence:
| Vērtība | Biežums | Kumulatīvā biežums |
|————|—————–|—————————|
| 10–19 | 5 | 5 |
| 20–29 | 8 | 13 |
| 30–39 | 12 | 25 |
| 40–49 | 15 | 40 |
| 50–59 | 6 | 46 |
| 60–69 | 4 | 50 |
Datu skaits (N) = 50
2. solis: pirmās kvartiles (Q1) noteikšana
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Mēs meklējam klasi, kurā kumulatīvā frekvence pirmo reizi pārsniedz 12.5, proti, 20.–29. klasi.
– L (Q1 klases apakšējā robeža) = 20
– F (kumulatīvā frekvence pirms Q1 klases) = 5
– f (Q1 klases biežums) = 8
– c (klases garums) = 10
Izmantojot formulu Q1:
\[
Q1 = 20 + ∫(∫12.5 – 5(8)) × 10 = 20 + ∫(∫7.5(8)) × 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
3. solis: otrā kvartiles (Q2) noteikšana
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Mēs meklējam klasi, kurā kumulatīvā frekvence pirmo reizi pārsniedz 25, proti, 30.–39. klasi.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Izmantojot formulu Q2:
\[
Q2 = 30 + ∫(∫25 – 13(12)) × 10 = 30 + ∫(∫12(12)) × 10 = 30 + 10 = 40
\]
4. solis: nosakiet trešo kvartili (Q3)
– (3N4 = 3 reizes 504 = 37.5)
Mēs meklējam klasi, kurā kumulatīvā frekvence pirmo reizi pārsniedz 37.5, proti, 40.–49. klasi.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Izmantojot formulu Q3:
\[
Q3 = 40 + ∫(∫37.5 – 25,15) × 10 = 40 + ∫(∫12.5) × 10 = 40 + 8.333 \aptuveni 48.333
\]
Secinājums
No iepriekš minētajiem aprēķiniem iegūstam grupas datu kvartiles vērtības šādi:
– Pirmais kvartils (Q1) = 29.375
– Otrā kvartile (Q2) = 40
– Trešā kvartile (Q3) = 48.333
Šīs vērtības ļauj mums saprast, kā dati ir sadalīti grupā. Piemēram, 25% datu ir zem 29 375 (Q1), 50% datu ir zem 40 (mediāna jeb Q2) un 75% datu ir zem 48 333 (Q3).
Kvartiļu aprēķini ir noderīgi dažādās situācijās, lai iegūtu dziļāku izpratni par datu sadalījumu. Šīs metodes izpratne ļauj mums precīzāk un efektīvāk analizēt grupētus datus.
