Jautājumu piemēri par funkcijām un nefunkcijām: pamatjēdzienu izpratne
Pengenalana
Matemātikā, īpaši algebrā, funkcijas jēdziens ir viens no fundamentālākajiem un svarīgākajiem. Funkcijas ļauj mums ļoti sistemātiskā veidā izprast attiecības starp divām kopām. Lai izprastu funkciju, mums vispirms ir jāsaprot tās definīcija un raksturlielumi. Tāpēc šajā rakstā tiks apskatīti piemēru uzdevumi un apspriestas funkcijas un nefunkcijas. Tas mums palīdzēs padziļināt izpratni par šo tēmu.
Funkcijas un nefunkcijas definīcija
Sāksim ar funkcijas definīcijas izpratni. Matemātikā funkciju var definēt kā sakarību, kas saista katru domēnu kopas elementu ar tieši vienu kodēnu kopas elementu. Citiem vārdiem sakot, katram domēnu kopas elementam kodēnu kopā ir tikai viens atbilstošs elements.
Relāciju, kas ir funkcijas, piemēri:
– Kopa A = {1, 2, 3}
– Kopa B = {4, 5, 6}
– Sakarība R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Sakarība R ir funkcija, jo katrs kopas A elements ir savienots pārī tikai ar vienu kopas B elementu.
Nefunkcija ir relācija, kas neatbilst šiem kritērijiem, proti, ka sākotnējā reģionā ir vismaz viens elements, kas ir savienots pārī ar vairāk nekā vienu elementu rezultātu reģionā.
Relāciju, kas nav funkcijas, piemēri:
– Kopa C = {1, 2, 3}
– Kopa D = {4, 5, 6}
– Sakarība S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Sakarība S nav funkcija, jo elements '1' kopā C ir savienots pārī ar diviem elementiem kopā D (proti, 4 un 5).
Parauga jautājumi un diskusija
Lai vēl vairāk padziļinātu izpratni par funkcijām un nefunkcijām, aplūkosim dažus jautājumu piemērus un to apspriešanu.
1. piemēra jautājums: Funkciju noteikšana
Dota kopa X = {a, b, c, d} un kopa Y = {1, 2, 3, 4}, vai sakarība ir definēta kā funkcija?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Diskusija:
Pārbaudīsim katru elementu kopā X:
– “a” ir savienots pārī ar “1”
– “b” ir savienots pārī ar “2”
– 'c' pārī ar '3'
– 'd' savienots pārī ar '4'
Tā kā katrs elements kopā X ir savienots pārī ar tieši vienu elementu kopā Y, sakarība R ir funkcija.
2. jautājuma piemērs: Funkciju vai nefunkciju identificēšana
Dota kopa P = {u, v, w} un kopa Q = {5, 6, 7}. Nosakiet, vai šāda sakarība ir funkcija:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Diskusija:
Apskatīsim katru elementu kopā P:
– 'u' pārī ar '5'
– 'v' savienots pārī ar '6'
– “u” tiek lietots arī pārī ar “7”
Tā kā elements 'u' kopā P ir savienots pārī ar vairāk nekā vienu elementu kopā Q, sakarība S nav funkcija.
3. piemēra jautājums: Funkciju zīmēšana no grafikiem
Dots sakarības grafiks koordinātu plaknē. Nosakiet, vai tas ir funkcija vai nē. Grafikā parādīti šādi punkti:
– (1. g., 2. lpp.)
– (2. g., 4. lpp.)
– (3. g., 6. lpp.)
– (4. g., 8. lpp.)
– (5. g., 10. lpp.)
Diskusija:
Katram grafika punktam ir pāris formā (x, y), kas norāda, ka katrai dotajai x vērtībai ir saistīta tieši viena y vērtība. Tā kā katrs domēna elements ir savienots pārī ar tieši vienu elementu kodēmenā, dotais grafiks ir funkcijas grafiks.
4. uzdevuma piemērs: Funkcijas vienādojumu formā
Nosakiet, vai vienādojums y = x² ir funkcija, ja dotajā domēnā ir visi reālie skaitļi.
Diskusija:
Mums jāpārbauda, vai katrai x vērtībai apgabalā ir saistīta tikai viena y vērtība. Aizvietojiet dažas x vērtības:
– Ja x = 1, tad y = 1² = 1
– Ja x = 2, tad y = 2² = 4
– Ja x = -1, tad y = (-1)² = 1
Var redzēt, ka katrai izvēlētajai x vērtībai ir tikai viena saistītā y vērtība. Tāpēc y = x² ir funkcija.
5. piemēra jautājums: Funkcijas ar apgrieztām funkcijām
Apzīmēsim funkciju f(x), ko definē f: x → x + 3. Atrodiet šīs funkcijas apgriezto vērtību, ja tāda eksistē.
Diskusija:
Ja f: x → x + 3, tad mums jāatrod tāda funkcija g, ka f(g(x)) = x un g(f(x)) = x. Sākot ar vienādojumu:
– y = x + 3
Lai atrastu apgriezto vērtību, mēs izolējam x:
– x = y – 3
Tāpēc apgrieztā funkcija ir g(y) = y – 3.
Tātad funkcijas f(x) = x + 3 apgrieztā funkcija ir f⁻¹(x) = x – 3.
Secinājums
No iepriekš minētās diskusijas mēs esam redzējuši vairākus problēmu piemērus, kas saistītas ar funkcijām un nefunkcijām, kā arī to skaidrojumus. Funkcijas jēdziens mums māca, ka katram domēna kopas elementam jābūt savienotam pārī ar tieši vienu domēna kopas elementu. Funkciju identificēšana no grafikiem un vienādojumiem ir arī noderīga metode, lai noteiktu sakarības raksturu. Praktizējot šāda veida problēmas, mēs labāk iepazīsimies ar un labāk izpratīsim funkciju un nefunkciju pamatjēdzienus, kas ir būtiski algebras un citas matemātiskās analīzes pamati.
