Piemēru jautājumi par aritmētiskajām sērijām
Aritmētiskās secības ir matemātikas pamatjēdziens, kas bieži parādās dažādās problēmās gan vidusskolā, gan augstākajā izglītībā. Šis jēdziens ietver skaitļu secību, kur katrs loceklis ir iepriekšējā locekļa saskaitīšanas vai atņemšanas rezultāts nemainīgam skaitlim. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus uzdevumu piemērus un to risinājumus, lai labāk izprastu aritmētisko secību jēdzienu.
Aritmētisko sēriju izpratne
Aritmētiskā sērija ir sērija, kurai ir nemainīga starpība (atšķirība) starp diviem secīgiem locekļiem. Piemēram, ja aritmētiskās sērijas pirmais loceklis ir \(a\) un starpība ir \(d\), tad locekļus var uzrakstīt šādi:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Ja vēlamies atrast šīs sērijas n-to locekli, n-tā locekļa (\(U_n\)) formula ir:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Tikmēr aritmētiskās virknes pirmo n locekļu summu (\(S_n\)) var aprēķināt, izmantojot formulu:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājuma piemērs
Jautājums: Dota aritmētiskā virkne, kuras pirmais loceklis ir a = 5 un kopējā starpība ir d = 3. Atrodiet virknes desmito locekli.
Diskusija:
Lai atrastu desmito locekli (\(U_{10}\)), mēs varam izmantot n-tā locekļa formulu:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Tātad sērijas desmitais loceklis ir 32.
2. jautājuma piemērs
Jautājums: Aprēķiniet aritmētiskās virknes pirmo 15 locekļu summu, kuras pirmais loceklis ir \(a = 4\) un kopējā starpība ir \(d = 7\).
Diskusija:
Lai atrastu pirmo 15 locekļu summu (\(S_{15}\)), mēs varam izmantot formulu pirmo n locekļu summas aprēķināšanai:
\[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[S_{15} = 795 \]
Tātad sērijas pirmo 15 locekļu summa ir 795.
3. jautājuma piemērs
Jautājums: Ir zināms, ka aritmētiskās rindas 5. loceklis ir 20 un 12. loceklis ir 48. Atrodiet rindas pirmo locekli (\(a\)) un kopīgo starpību (\(d\)).
Diskusija:
No dotajiem nosacījumiem:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Mums ir divi lineāri vienādojumi ar diviem mainīgajiem, kurus mēs varam atrisināt:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
No 1. vienādojuma mēs varam izteikt \(a\) ar \(d\):
\[a = 20 – 4d \]
Tagad mēs aizvietojam \(a\) vienādojumā 2:
\[20 – 4d + 11d = 48 \]
\[20 + 7d = 48 \]
\[7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Tagad mēs aizvietojam \(d\) vērtību vienādojumā \(a = 20 – 4d\):
\[a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[a = 20–16 \]
\[ a = 4 \]
Tātad sērijas pirmais loceklis ir 4, un kopīgā starpība ir 4.
4. jautājuma piemērs
Jautājums: Cik locekļu ir nepieciešami, lai aritmētiskās virknes, kuras pirmais loceklis ir a = 2 un kopējā starpība ir d = 5, summa būtu 200?
Diskusija:
Šajā gadījumā mums jāatrod pirmo n locekļu summa (\(S_n\)), kas ir vienāda ar 200. Izmantojiet formulu pirmo n locekļu summas aprēķināšanai:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Aizvietojiet \(a\) un \(d\) vērtības:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n - 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n–1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400 \]
Šis ir kvadrātvienādojums. Lai to atrisinātu, mēs mainām tā formu:
\[5n^2 – n – 400 = 0 \]
Izmantojiet kvadrātvienādojumu formulu \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[n = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Šajā gadījumā \(a = 5\), \(b = -1\) un \(c = -400\):
\[n = \frac{-(-1) \pm qrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[n = \frac{1 \pm\sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[n = \frac{1 \pm\sqrt{8001}}{10} \]
Ja \(\sqrt{8001}\) vērtība ir tuvu 89.42, tad:
\[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Mēs ņemam pozitīvas vērtības:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[n \aptuveni \frac{90.42}{10} \]
\[n \aptuveni 9.042 \]
Tātad nepieciešamo terminu skaits ir 9 termini (ja noapaļo).
Secinājums
Aritmētiskās secības ir ļoti svarīga tēma matemātikā. Rūpīga pirmā locekļa, kopīgās starpības, n-tā locekļa un pirmo n locekļu summas izpratne ir nenovērtējama plaša problēmu klāsta risināšanā. Izmantojot iepriekš minētos piemērus un diskusijas, cerams, ka lasītāji iegūs labāku izpratni par aritmētisko secību pamatjēdzieniem.
