Piemēru jautājumi par kompleksajiem skaitļiem
Kompleksie skaitļi ir bieži sastopama tēma matemātikā gan vidusskolas, gan koledžas līmenī. Kompleksie skaitļi sastāv no divām daļām: reālās daļas un imaginārās daļas. Izmantojot parasto pierakstu, komplekso skaitli pieraksta kā \(z = a + bi \), kur \(a \) un \(b \) ir reālie skaitļi, un \(i \) ir imaginārā vienība ar īpašību \(i^2 = -1 \). Šajā rakstā tiks aplūkoti vairāki komplekso skaitļu piemēri un to apspriešana, sākot no pamatdarbībām līdz problēmu risināšanas pielietojumiem.
Parauga jautājumi un diskusija
1. Komplekso skaitļu saskaitīšana un atņemšana
1. jautājums
Pieņemsim \(z_1 = 3 + 4i \) un \(z_2 = 1 – 2i \). Aprēķināt \(z_1 + z_2 \) un \(z_1 – z_2 \).
Diskusija
Lai saskaitītu vai atņemtu kompleksos skaitļus, mēs vienkārši apstrādājam reālo daļu ar reālo skaitli un imagināro daļu ar imagināro skaitli.
Papildinājums:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1–2i) = (3 + 1) + (4i–2i) = 4 + 2i
\]
Atņemšana:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Tātad, \(z_1 + z_2 = 4 + 2i \) un \(z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Komplekso skaitļu reizināšana
2. jautājums
Aprēķiniet \(z_1 = 2 + 3i \) reizinājumu ar \(z_2 = 4 – i \).
Diskusija
Lai reizinātu divus kompleksos skaitļus, mēs izmantojam algebras sadales īpašību:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Mēs reizinām katru komponentu:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Tā kā \(i^2 = -1 \), tad:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Tātad, reizinājums \(z_1 \cdot z_2 \) ir \(11 + 10i \).
3. Komplekso skaitļu dalīšana
3. jautājums
Aprēķiniet dalījumu \(z_1 = 3 + 4i \) ar \(z_2 = 1 – i \).
Diskusija
Lai dalītu komplekso skaitli, mēs reizinām skaitītāju un saucēju ar kompleksā skaitļa saucēja konjugātu. \(1 – i \) konjugāts ir \(1 + i \).
\[
∫\frac{3 + 4i}{1 – i} ∫\cdot ∫\frac{1 + i}{1 + i} = ∫\frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Vispirms aprēķināsim saucēju:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Tagad aprēķinām skaitītāju:
\[
(3 + 4i) (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4 (-1) = 3 + 7i - 4 = -1 + 7i
\]
Tātad, rezultāts ir:
\[
\\frac{-1 + 7i}{2} = -\\frac{1}{2} + \\frac{7}{2}i
\]
4. Komplekso skaitļu modulis un arguments
4. jautājums
Nosakiet \(z = 1 + i \) moduli un argumentu.
Diskusija
Kompleksā skaitļa (z = a + bi) modulis ir:
\[
|z| = ∫qrt{a^2 + b^2}
\]
Ja z = 1 + i, tad a = 1 un b = 1:
\[
|z| = ∫qrt{1^2 + 1^2} = ∫qrt{2}
\]
Kompleksa skaitļa arguments ir leņķis \( \heta \), kas veidojas ar pozitīvo reālo asi, mērot no sākuma punkta virzienā uz punktu \( (a, b) \).
\[
theta = tan^{-1}(frac{b}{a})
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Tātad, \(z = 1 + i \) modulis ir \( \sqrt{2} \) un arguments ir \( \frac{\pi}{4} \).
5. Eksponenciālā forma un Eilera modelis
5. jautājums
Pārveidojiet komplekso skaitli \(z = 1 + i \) eksponenciālā formā.
Diskusija
Komplekso skaitļu eksponenciālā forma, izmantojot Eilera formulu:
\[
z = re^{i\theta}
\]
Kur \(r \) ir modulis un \( \theta \) ir arguments. No iepriekšējās diskusijas mēs zinām, ka:
\[
r = ∫qrt{2}, ∫heta = ∫frac{\pi}{4}
\]
Tātad, eksponenciālā forma ir:
\[
z = ∫qrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Komplekso skaitļu saknes
6. jautājums
Atrodiet kompleksā skaitļa \(z = -1 \) kvadrātsaknes.
Diskusija
Komplekso skaitļu kvadrātsaknes var atrast, izmantojot polāro vai eksponenciālo formu. Mēs pārvēršam \(z = -1 \) eksponenciālajā formā:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Kvadrātsakni no \(e^{i\pi} \) var uzrakstīt šādi:
\[
z_k = ∫qrt{r} ∫cdot e^{i(heta + 2k\pi)/n}
\]
Ar (r = 1), (heta = π), (n = 2) un (k = 0, 1):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Tātad, \(-1 \) kvadrātsaknes ir \(i \) un \(-i \).
7. Pielietojumi kvadrātvienādojumos
7. jautājums
Atrisiniet kvadrātvienādojumu \(z^2 + 4z + 13 = 0 \).
Diskusija
Mēs varam izmantot kvadrātvienādojumu formulu:
\[
z = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Vienādojumam \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Tātad, \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) risinājumi ir \(z = -2 + 3i \) un \(z = -2 – 3i \).
Secinājums
Kompleksie skaitļi ir ļoti plašs matemātisks jēdziens ar daudziem pielietojumiem. Izprotot pamatdarbības, piemēram, saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, kā arī to, kā aprēķināt moduli un argumentu, mēs varam atrisināt dažādas problēmas, kas saistītas ar kompleksajiem skaitļiem. Cerams, ka iepriekš minētie piemēri palīdzēs jums labāk izprast un apgūt šo tēmu.
