Piemēru jautājumi par secībām un sērijām
Secības un sērijas ir matemātikas pamatjēdzieni, ar kuriem bieži saskaras no pamatskolas līdz pat koledžai. Secība ir skaitļu kopums, kas sakārtots saskaņā ar noteiktu noteikumu, savukārt sērija ir šīs secības locekļu summa. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus piemēru uzdevumus un apspriedīsim secības un sērijas.
1. piemērs: aritmētiskā secība
Jautājums:
Dota aritmētiska virkne ar pirmo locekli (a) = 3 un starpību (d) = 5. Nosakiet:
1. Secības 10. loceklis.
2. Secības pirmo 20 locekļu summa.
Diskusija:
1. 10. termiņš
Aritmētiskās secības n-tā locekļa formula ir:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
10. semestrim (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Pirmo 20 locekļu summa
Aritmētiskās secības pirmo n locekļu summas (S_n) formula ir:
\[
S_n = ∫\frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Pirmo 20 locekļu summai (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20 - 1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
2. piemērs: Ģeometriskā sērija
Jautājums:
Dota ģeometriska virkne ar pirmo locekli (a) = 4 un attiecību (r) = 2. Nosakiet:
1. Secības 6. loceklis.
2. Secības pirmo 8 locekļu summa.
Diskusija:
1. 6. termiņš
Ģeometriskās secības n-tā locekļa formula ir:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
6. semestrim (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Pirmo 8 locekļu summa
Ģeometriskās secības pirmo n locekļu summas (S_n) formula ir:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Pirmo 8 locekļu summai (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
3. piemērs: Konverģējoša ģeometriska bezgalīga virkne
Jautājums:
Dota ģeometriska rinda ar pirmo locekli (a) = 1 un attiecību (r) = 1/2. Nosakiet bezgalīgās rindas summu.
Diskusija:
Konverģējošas ģeometriskas virknes bezgalīgas virknes (S_∞) summas formula ir:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Tātad šai sērijai:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
4. piemērs: Kvadrātskaitļu secības un sērijas
Jautājums:
Dota kvadrātskaitļu virkne, kurā pirmais loceklis (U_1) = 1, otrais loceklis (U_2) = 4 un trešais loceklis (U_3) = 9. Nosakiet virknes piekto locekli. Vai šī virkne ir aritmētiska vai ģeometriska virkne? Paskaidrojiet.
Diskusija:
1. 5. termiņš
Kvadrātveida skaitļu secības modelis ir šāds:
\[
U_n = n^2
\]
5. semestrim (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Līnijas tips
Lai pārbaudītu, vai šī secība ir aritmētiska vai ģeometriska, pārbaudiet starpību starp locekļiem (kopīgo starpību) un attiecību starp locekļiem:
– Atšķirība starp terminiem (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Tā kā starpība nav konstanta, šī secība nav aritmētiska.
– Cilts savstarpējā attiecība (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Tā kā attiecība starp terminiem nav konstanta, šī secība nav ģeometriska.
Tātad šī kvadrātskaitļu secība nav ne aritmētiska, ne ģeometriska secība, bet gan īpaša secība, kas seko kvadrātskaitļu modelim.
5. piemērs: Bezgalīga aritmētiskā sērija
Jautājums:
Vai ir iespējams aprēķināt bezgalīgas aritmētiskās virknes summu? Ja tā, sniedziet piemēru. Ja nē, paskaidrojiet, kāpēc.
Diskusija:
Atšķirībā no ģeometriskām rindām, bezgalīgām aritmētiskajām rindām parasti nav galīgas summas. Tas ir tāpēc, ka katrs loceklis lineāri palielinās vai samazinās, tāpēc summa turpina pieaugt bezgalīgi.
Piemēram, apsveriet bezgalīgu aritmētisko virkni ar pirmo locekli 1 un kopīgo starpību 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Ja mēģinām tos summēt, kļūst skaidrs, ka sērija nekonverģēs uz fiksētu vērtību, bet gan tuvosies bezgalībai. Tāpēc bezgalīgas aritmētiskās rindas summa parasti ir bezgalīga un to nevar aprēķināt kā konverģentu ģeometrisku rindu.
Sākot no
Šajā rakstā esam aplūkojuši vairākus uzdevumu piemērus un apsprieduši virknes un sērijas. Esam pārskatījuši aritmētiskās un ģeometriskās virknes, redzējuši, kā aprēķināt n-to locekli un to pirmo locekļu summu, un atbildējuši uz jautājumiem par bezgalīgām rindām. Izprotot šos pamatjēdzienus un piemērus, ceram, ka jutīsieties pārliecinātāk, aplūkojot virknes un sērijas matemātikā.
