Piemēru jautājumi par aritmētiskajām secībām
Aritmētiskās secības ir matemātikas pamatjēdziens, kas bieži parādās dažādos eksāmenos un reālās pasaules pielietojumos. Aritmētiskā secība ir skaitļu virkne ar nemainīgu starpību starp katriem diviem secīgiem locekļiem. Šajā rakstā mēs padziļināti izpētīsim aritmētisko secību jēdzienu, izmantojot vairākus piemēru uzdevumus ar visaptverošiem skaidrojumiem.
Definīcijas un apzīmējumi
Pirms ķeramies pie piemēru problēmām, ir svarīgi saprast aritmētiskajās secībās bieži izmantoto apzīmējumu sistēmu. Ja \(a\) ir pirmais loceklis un \(d\) ir kopējā starpība (konstante starpība), tad aritmētisko secību var uzrakstīt šādi:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Šīs virknes n-to locekli (Un) var formulēt šādi:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Tālāk ir sniegti vairāki jautājumu piemēri un to apspriešana, lai atvieglotu aritmētisko secību izpratni.
1. jautājuma piemērs
Jautājums:
Dota aritmētiska virkne ar pirmo locekli \(a = 5\) un kopīgo starpību \(d = 3\). Nosakiet virknes desmito locekli.
Diskusija:
Izmantojot n-tā locekļa vispārīgo formulu, proti, \(U_n = a + (n-1)d \):
\[U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Tātad secības 10. loceklis ir 32.
2. jautājuma piemērs
Jautājums:
Dota aritmētiska virkne, kurā piektais loceklis ir 20 un astotais loceklis ir 35. Nosakiet virknes pirmo locekli \(a\) un kopīgo starpību \(d\).
Diskusija:
No jautājuma mēs zinām:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[U_8 = a + 7d = 35 \]
Atņemiet abus vienādojumus, lai likvidētu \(a\):
\[ (a + 7d) - (a + 4d) = 35 - 20 \]
\[3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Tagad mēs aizvietojam \(d = 5\), lai atrastu \(a\):
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Tātad, secības pirmais loceklis ir 0, un starpība ir 5.
3. jautājuma piemērs
Jautājums:
Kāda ir aritmētiskās virknes pirmo 20 locekļu summa, kuras pirmais loceklis ir \(a = 2\) un kopējā starpība \(d = 4\)?
Diskusija:
Aritmētiskās secības pirmo n locekļu summu var aprēķināt, izmantojot formulu:
\[S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d \right) \]
Šai rindai:
\[S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[S_{20} = 10 \left(4 + 76 \right) \]
\[S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Tātad secības pirmo 20 locekļu summa ir 800.
4. jautājuma piemērs
Jautājums:
Aritmētiskās virknes trešais loceklis ir 15, un septītais loceklis ir 27. Atrodiet virknes 12. locekli.
Diskusija:
Vispirms mums jāatrod vērtības \(a\) un \(d\). No jautājuma mēs zinām:
\[U_3 = a + 2d = 15 \]
\[U_7 = a + 6d = 27 \]
Atņemiet abus vienādojumus, lai likvidētu \(a\):
\[ (a + 6d) - (a + 2d) = 27 - 15 \]
\[4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Tagad mēs aizvietojam \(d = 3\), lai atrastu \(a\):
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Izmantojot n-tā termina formulu, lai atrastu 12-to terminu:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Tātad secības 12. loceklis ir 42.
5. jautājuma piemērs
Jautājums:
Aritmētiskai virknei ar pirmo locekli \(a\) un kopīgo starpību \(d\) ir pirmo 10 locekļu summa, proti, 55. Ja \(d = 1\), nosakiet pirmo locekli \(a\).
Diskusija:
Dots \(d = 1\) un \(S_{10} = 55\). Izmantojiet formulu pirmo locekļu summai:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Ja n = 10:
\[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Tātad, secības pirmais loceklis ir 1.
Secinājums
Aritmētiskās secības ir matemātikas pamatjēdziens, kas ir ārkārtīgi noderīgs dažādās jomās. Šajā rakstā mēs esam apsprieduši vairākus aritmētisko secību piemērus un to risinājumus. Laba izpratne par aritmētisko secību formulām un pamatīpašībām būs ļoti noderīga dažādu ar šo tēmu saistītu problēmu risināšanā.
Praktizējot tādus piemērus kā iepriekš minētie, cerams, ka jūs kļūsiet prasmīgāki un ātrāki problēmu risināšanā, kas saistītas ar aritmētiskām secībām.
